2+2=4 ?

[Skullkid]

C'est la commutativité dont tu parles SKullkid

Oui, je disais juste que dans la démo citée par Anty28 ils utilisent l'associativité qu'on n'a pas encore démontrée dans le cadre du topic (même si comme l'a dit leon1789 c'est du même niveau que la commutativité).

Dlzlogic, tu n'as jamais su ce qu'était la rigueur, ni ce qui a des applications hors de TON domaine de compétence hyper restreint. Garde ta pensée dogmatique.

[chaa13]

Lol moi aussi je suis en admiration ^^
Mais quand tu dis : 0 U {0} = 1 tu veut dire : card(0 U {0}) = 1 ??? Est-ce quand tu prend un ensemble et que tu lui rajout les deux {} ça va être : cet ensemble inclue dans cet ensemble, un peut comme ça : {E} = E C E ? (le C veut dire inclu)


Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Skullkid]

Je définis l'entier naturel qu'on note 1 comme étant un ensemble : l'ensemble 0 U {0}. Il se trouve que le cardinal de cet ensemble est un, ce qui n'est pas un hasard, il a été défini exprès pour ça.

Quand tu écris {E} = E C E ça ne veut rien dire, tu écris qu'un ensemble est égal à une inclusion. Mais l'ensemble E est un élément de l'ensemble {E}. L'ensemble {E} est un ensemble dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles. A inclus dans B ça veut dire "tous les éléments de A sont des éléments de B". A appartient à B ça veut dire "A est un élément de B".

Par exemple l'ensemble {N,Z,R} est un ensemble à trois éléments : le premier élément est l'ensemble des entiers naturels, le deuxième élément est l'ensemble des entiers relatifs, le troisième élément est l'ensemble des nombres réels. L'ensemble N appartient à l'ensemble {N,Z,R}. L'entier naturel 1 appartient à l'ensemble N, mais il n'appartient pas à l'ensemble {N,Z,R}. L'ensemble {N} est inclus dans l'ensemble {N,Z,R}, mais l'ensemble {N} n'appartient pas à l'ensemble {N,Z,R}.

Encore une fois, il vaut peut-être mieux attendre que tu sois un peu familier avec les ensembles et leurs manipulations.

[chaa13]

Merci mais en fait la ce qui me trouble c'est le passage de E a {E} ! Mais si je prend juste 0 U {0} = {0,{0}} et c'est la qu'on pourra dire que son cardinal sera égale a 1.


Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!

[Skullkid]

Non 0 U {0} ça ne fait pas {0,{0}}. Je ne peux rien faire de plus à part te renvoyer aux définitions et répéter les mêmes choses.

E U {E} c'est l'ensemble E à qui on ajoute un seul élément, ce nouvel élément étant E lui-même. Si E est un ensemble à n éléments, E U {E} est un ensemble à n+1 éléments. Ces n+1 éléments sont :
- Les n éléments de E
- Un nouvel élément : E

Puisque 0 est l'ensemble vide, 0 U {0} = vide U {vide} = {vide} = {0}. L'ensemble vide n'a aucun élément, l'ensemble {vide} a un élément.

[chaa13]

Je crois que j'ai compris donc quand on dis un élément 1, 1 représente le cardinal de cette élément !

[Skullkid]

À peu près oui. En fait on construit l'ensemble 1 (1 c'est juste le nom qu'on lui donne, évidemment on n'a pas choisi ce nom par hasard, mais on aurait tout à fait pu l'appeler autrement) de sorte à ce que son cardinal (qui est une notion pas encore définie là où on en est) soit le "un" de la vie de tous les jours. Mais 1 a une définition précise, c'est l'ensemble {vide}.

[chaa13]

Ok merci beacoup, maintenant revoir ces définition de morphisme :briques: !!

[chaa13]

re hey !
Donc le cours que ma donné Alannaria me permettra d'avancer sur la démonstration de 2+2=4 ?


Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[ThekamikazeFou]

Je trouve ce que vous dites bizarre.
1+1=2
2+2=4
Etc.
Ce ne sont pas des postulats de depart sans demonstration posible? C'est a dire des egalité qu'on affirme sans pouvoir les demontrers mais qu'on considere comme bon vu que ce sont les bases des maths?

Des postulats de departs il y en a partout notement en physique avec la theorie de la relativité restrinte, pourquoi pas en math? Pourquoi cherchons nous toujours a tout demontrer?

[chaa13]

Mais qui a dit que 1+1=2 ?En fait ce que je cherche c'est comprendre pourquoi 1+1=2 dans le cadre de nombre, ça peut parterre bête mais a bon goûts je veut la savoir car c'est la base de tout comme on l'apprend en Cp quoi !C'est vrai que a quoi ça sert de redémontrer quelques chose qui a déjà été démontré ? La c'est juste pour savoir ^^

[ThekamikazeFou]

Non mais ce que je veux te dire c'est qu'il n'y a peut etre pas de démonstration. Chaque base de tout théoreme est conçus par des postulats de départ qui sont incontestable et qui permettent de demontrer quelque choses.
Par exemple la chimie exisiste puisque l'on a admis que dans l'infiniment petit il existait de molecule ( aujourd'hui démontré) .
La theorie de ma relativité restrinte de einstein est une theorie qui explique comment fonctionne notre systeme, les interactions en entre les planetes, la notion de temps etc. Cette theorie est basé sur le fait que dans l'infiniment petit il existe des interactions extremement forte.
De même pour la creation de l'univers on a admi qu'il y avais eut le big bang, qui a crée des systemes solaire etc.
Bref je m'égare, mais tout cela pour te dire que les maths ne sont qu'un outil créé par l'homme il a bien fallut y mettre une base, ce qu'on pourrait appelé les fondations, pour pouvoir construire tout un systeme.
L'addition 1+1=2 est peut etre "iné" et indémontrable, mais on est obligé de l'admettre.

On aurais tres bien pu dire que 1+1=11 mais cela signifiera que les maths que l'on connais aujourd'hui serrait completement different :)

Ce qui est aujourd'hui étrange c'est que l'on peut démontrer que 1+1=1 mais c'est une démonstration qui n'a aucun sens puisqu'il s'agit de la base du systeme mathématique.
En gros on a créé l'addition, sans la démontrer, ce qui a permis d'inventé de nombreux outils mathématique ( multiplication, division etc) puis exponentiel, ln ... Et tout ces outils nous permetent de démontrer l'addition de départ. Cela n'a donc pas vraiment de sens.

[chaa13]

Pour le 1+1 = 1 je suis d'accord enfin oui si on est dans Z/1Z (erreur rectifier);) Oui c'est vrai que 1+1 = 2 que c'est iné ! On prend 1 pomme et 1 autre pomme combien on en as, on représente les objet par des nombres mais que ce passe il se je prend 1 et 1 ? La on est désorienté enfin non car on l'associe avec l'histoire des pomme ! Pour le démontrer je crois qu'il y aun livre : http://fr.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica Mais le probleme c'est que pour le comprendre mdrr ...

[Skullkid]

Des postulats de departs il y en a partout notement en physique avec la theorie de la relativité restrinte, pourquoi pas en math? Pourquoi cherchons nous toujours a tout demontrer?

Certes on ne peut jamais s'affranchir des postulats (qu'on appelle "axiomes" pour faire bien) puisqu'ils servent en quelque sorte de définition de la vérité mathématique. L'idée est qu'une proposition vraie, c'est une proposition qu'on peut déduire d'un des axiomes qu'on s'est fixés par un raisonnement valide. La question qui vient tout de suite c'est "qu'est-ce qu'un raisonnement valide ?". Cette question a mené à la formalisation de la logique au XIXème siècle, ainsi qu'à la mise en place des critères que doivent respecter les "bons" systèmes d'axiomes. Par exemple, si les axiomes permettent de déduire une proposition et son contraire, rien ne va plus. Et là les mathématiciens se sont rendus compte qu'il y avait un sacré paquet d'axiomes, qu'on n'était pas sûr à 100% qu'ils n'étaient pas contradictoires, qu'on n'était pas sûr de pouvoir (en principe) tout démontrer, que certains axiomes pouvaient en fait se déduire d'autres axiomes, etc.

Cet épisode de l'histoire des maths s'appelle la crise des fondements. Cette crise a débouché sur la création de systèmes d'axiomes "minimaux" (par exemple ceux dont on se sert ici pour démontrer que 1+1 = 2), sur la mise en lumière d'axiomes qui semblent très intuitifs mais qui permettent de déduire des résultats hautement non intuitifs (le célèbre axiome du choix qui a entre autres conséquences le paradoxe de Banach-Tarski), et sur d'importants théorèmes portant sur les mathématiques elles-mêmes comme le théorème de Gödel qui en gros dit qu'il y aura toujours un énoncé indémontrable.

Sinon, les postulats (là du coup on les appelle plutôt "principes") de la physique sont loin de se limiter à la théorie de la relativité. Les lois de Newton par exemple, c'est du postulat. Mais en physique aussi, il y a ce désir de limiter les principes au minimum possible.

Edit : Un épisode analogue à la crise des fondements en maths est ce qu'on appelle la "catastrophe ultraviolette" en physique, autour de 1900, quand les premiers résultats expérimentaux allant à l'encontre de la continuité des grandeurs physiques (en gros) ont été obtenus. Jusqu'alors personne n'avait osé imaginer que certaines grandeurs soient quantifiées.

[Luc]

Pour le 1+1 = 1 je suis d'accord enfin oui si on est dans Z/2Z

Ca fait plutôt 1+1=0 en l'occurrence!

[ThekamikazeFou]

Certes on ne peut jamais s'affranchir des postulats (qu'on appelle "axiomes" pour faire bien) puisqu'ils servent en quelque sorte de définition de la vérité mathématique. L'idée est qu'une proposition vraie, c'est une proposition qu'on peut déduire d'un des axiomes qu'on s'est fixés par un raisonnement valide. La question qui vient tout de suite c'est "qu'est-ce qu'un raisonnement valide ?". Cette question a mené à la formalisation de la logique au XIXème siècle, ainsi qu'à la mise en place des critères que doivent respecter les "bons" systèmes d'axiomes. Par exemple, si les axiomes permettent de déduire une proposition et son contraire, rien ne va plus. Et là les mathématiciens se sont rendus compte qu'il y avait un sacré paquet d'axiomes, qu'on n'était pas sûr à 100% qu'ils n'étaient pas contradictoires, qu'on n'était pas sûr de pouvoir (en principe) tout démontrer, que certains axiomes pouvaient en fait se déduire d'autres axiomes, etc.

Cet épisode de l'histoire des maths s'appelle la crise des fondements. Cette crise a débouché sur la création de systèmes d'axiomes "minimaux" (par exemple ceux dont on se sert ici pour démontrer que 1+1 = 2), sur la mise en lumière d'axiomes qui semblent très intuitifs mais qui permettent de déduire des résultats hautement non intuitifs (le célèbre axiome du choix qui a entre autres conséquences le paradoxe de Banach-Tarski), et sur d'importants théorèmes portant sur les mathématiques elles-mêmes comme le théorème de Gödel qui en gros dit qu'il y aura toujours un énoncé indémontrable.

Sinon, les postulats (là du coup on les appelle plutôt "principes") de la physique sont loin de se limiter à la théorie de la relativité. Les lois de Newton par exemple, c'est du postulat. Mais en physique aussi, il y a ce désir de limiter les principes au minimum possible.

Oui voila tu as tout dis. Et biensur qu'il n'y a pas que la théorie de la relativité mais c'etais ce qui me venait en premier.
Si on n'a aucun "axiomes" comme tu dis, on ne pourrait absolument rien faire.

[chaa13]

HHAA non ne parle pas de Banach Tarski mdr ! Il me nargue étant donné que je ne peux pas le comprendre :P ! Oui c'est fou mais on l'apprend quand on est tout petit, mais on ne se dit pas : "Mais pourquoi 1+1=2" lol. Mais ce livre la quand même démontré !

@Luc
Mince désolé je suis bête je suis allé trop vite je réctifi ça tout de suite merci

[Skullkid]

Si on n'a aucun "axiomes" comme tu dis, on ne pourrait absolument rien faire.

Absolument, mais ça n'empêche pas que les vaches logiques sont mieux gardées quand on arrive à identifier clairement un petit nombre d'axiomes. Autrement dit, dès qu'on peut supprimer des axiomes superflus, on le fait. C'est pour ça qu'on peut démontrer 1+1 = 2.

[ThekamikazeFou]

Absolument, mais ça n'empêche pas que les vaches logiques sont mieux gardées quand on arrive à identifier clairement un petit nombre d'axiomes. Autrement dit, dès qu'on peut supprimer des axiomes superflus, on le fait. C'est pour ça qu'on peut démontrer 1+1 = 2.

Je vois ce que tu veux dire, mais je ne comprends pas comment on peut apelé cela une démontration vu qu'on utilise tout le systeme mathématique créé par cette axiome pour le démontrer. C'est un peu comme si on fermait un boucle, c'est donc logique de pouvoir "demontrer" que 1+1=2 sachant qu'on l'affirme pour le démontrer ^^


Wikipedia :
Peut-on prouver la cohérence de l'arithmétique ? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires ?

Resolution :
Il n'existe pas de consensus sur le fait que les résultats de Gödel et Gentzen apportent une solution au problème tel que formulé par Hilbert. Le théorème d'incomplétude de Gödel, prouvé en 1931, montre qu'aucune preuve de la cohérence ne peut être apportée en utilisant les outils de l'arithmétique. Getzen montra en 1936 que la cohérence de l'arithmétique dérive du fait que le nombre transfini 0 est défini à partir d'une récurrence bien fondée.

[Skullkid]

C'est un peu comme si on fermait un boucle, c'est donc logique de pouvoir "demontrer" que 1+1=2 sachant qu'on l'affirme pour le démontrer ^^

Mais en l'occurrence on ne suppose pas que 1+1 = 2. Les axiomes qui servent à démontrer que 1+1 = 2 sont (sauf erreur) :

- L'ensemble vide existe
- La réunion de deux ensembles est un ensemble
- Deux ensembles sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes éléments
- Il existe un ensemble N non vide dont un des éléments est l'ensemble vide et tel que si x appartient à N alors x U {x} appartient à N

Juste en les regardant comme ça, c'est pas trop évident de voir que ça implique que 1+1 = 2... Bon évidemment faut définir 1, 2 et +, et en creusant un peu on se rend compte que le quatrième axiome ci-dessus est en fait une reformulation pédante de "les entiers naturels existent". Mais quand même, c'est pas évident à vue de nez que l'ensemble dont l'existence est postulée est justement l'ensemble des entiers naturels.