Somme des cosinus de 4 angles au centre

[xoxotin]

Comment montrer que, dans un cercle, la somme des cosinus de 4 angles au centre est nulle.

[GaBuZoMeu]

Bonjour (ça ne fait pas de mal),
Tu as oublié pas mal de choses dans la formulation de ta question. Qui sont exactement tes quatre angles au centre ?

[xoxotin]

Avec mes excuses. Bonjour donc. Je reformule:
Comment montrer que, dans un cercle, la somme des cosinus de 4 angles au centre dont la somme est 2 pi est nulle.

[xoxotin]

Bonjour,
Après réflexion cela n'est pas toujours vrai. La relation d'Archimède concernant le quadrilatère inscriptible peut en effet s'écrire:
AB²+BC²+CD²+DA² = 2 r² (4 - (cos a + cos b + cos c + cos d)) où r est le rayon du cercle , a b c, d les angles au centre et AB, BC, CD et DA les côtés. Donc je pensais que la somme des cosinus étant nulle la relation était vérifiée.
Mais apparemment cela est vrai quand les angles sont 2 à 2 symétriques par rapport à l'axe oY des sinus (alors les cosinus s'annulent) mais si ce n'est pas le cas la somme des cosinus ne s'annule pas exactement.
Donc on ne peut pas employer cette méthode pour établir la relation d'Archimède.

[xoxotin]

par exemple 110 et 70, 55 et 125...

[xoxotin]

En utilisant les carrés des sinus la relation d'Archimède est satisfaite si
sin² a + sin² b + sin² c + sin² d = 2
Après plusieurs vérifications numériques j'ai tiré la conclusion suivante:
Si l'on attribue les légères différences quant aux résultats attendus à une imprécision de la calculette on pourra affirmer que la somme des cosinus des 4 angles au centre du quadrilatère inscriptible est nulle et que la somme des carrés des sinus des 4 angles issus des bases des 4 triangles isocèles formant ce quadrilatère est égale à 2.

[xoxotin]

Suite:
Je m'aperçois que le théorème de Fauré dit que la somme des carrés des parties des diagonales d'un quadrilatère inscriptible est égale à 4 r²: a²+b²+c²+d² = 4 r²
Il est alors facile en appliquant Pythagore de trouver que la somme des carrés des 4 côtés est égale à 8 r².
Mais ceci concerne le cas où les diagonales sont perpendiculaires.
Il faudrait démontrer que cela reste valable ou non lorsque les diagonales ne sont pas perpendiculaires...
http://bit.ly/Teorema-Faure

[xoxotin]

Finalement quand on cherche...on trouve.
https://www.pakhomoff.net/ARCHIMEDE.html