Somme des angles = 180 degrés ?

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
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Ben314
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par Ben314 » 29 Mar 2010, 21:45

En fait, ce dont tu parle, les "arcs" permettant d'aller de A à B par "un coté" ou par "l'autre coté" ça correspond plutôt à la notion de segment dans le plan.
Et, effectivement, entre A et B, il y a deux "segments" (alors que dans le plan il n'y en a qu'un : on ne peut pas passer "par l'autre coté" qui est infini) en général l'un des deux est plus court que l'autre et c'est lui qui représente le plus court chemin.
La "droite" allant de A à B est en fait tout le grand cercle, c'est à dire la réunion des deux "segments" (cela correspond dans le plan à voir une droite comme la réunion d'un segment et de deux demi droites).
Pour faire une "droite" de A à B, il faut prendre la coupe de la sphère par un plan passant par A et par B mais aussi par le centre O de la sphère (pour que ce soit une "droite"). Or combien de plan y a-t'il passant par 3 points distincts ?
En général un seul (donc une seule droite passant par A et B) SAUF si les trois points sont alignés, ce qui signifie que A et B sont diamétralement oposés sur la sphére (on parle "d'antipodes") : dans ce cas, il y a une infinité de droites passant par A et B. En fait, sur terre, si tu est pile au pôle Nord et qu'on te demande le chemin le plus court pour aller au pôle Sud...

Une fois à peu prés compris la notion de "ligne droite" sur la terre, on peut évidement définir les triangles : c'est une portion de la sphére dont les cotés sont trois lignes droites.
Il faut faire attention à ce que, contrairement au plan, la donnée de trois points de défini pas un triangle : si A,B,C sont trois points (non antipodes) on trace l'unique "droite" (AB), la "droite" (AC) et la "droite" (BC) et cela coupe la sphère en... 8 régions qui mériteraient toutes le nom de "triangle ABC". (Si on fait la même chose dans le plan, on n'obtient que 7 régions dont une seule n'est pas "infinie" : c'est évidement elle que l'on appelle le "triangle ABC")

Pour imaginer un "triangle" trés simple sur la sphère, tu peut prendre le pôle nord N et 2 points A,B (non antipodes) à l'équateur : la droite (AB) est l'équateur et les droites (NA) et (NB) sont des méridiens (sort un globe si tu en as un) : tu constate que ce "triangle" a deux angles droits en A et en B et un troisième angle (en N)... quelconque.

En fait un joli résultat est que, sur une sphére, la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°+quelque_chose et que le quelque chose est linéairement proportionnel à... la surface du triangle.
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Sylviel
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par Sylviel » 29 Mar 2010, 21:58

Joker62 a écrit:Moi je bannierai Sylviel du forum si je pouvais lol :D


Pas taper, pas taper... ça m'intéresse aussi : je ne connais que la vulgarisation sommaire, du coup je serai bien incapable d'expliquer quoi que ce soit. Et lire Ben est souvent un plaisir...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

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Ben314
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par Ben314 » 29 Mar 2010, 22:12

Pour ceux qui veulent chercher un peu et pas seulement lire, pour prouver que la somme des angles vaut
180°+queque_chose_proportionnel_à_la_surface (en fait exactement la surface si on a pris soin de mesurer les angles en radian et de prendre une sphère de rayon 1)
C'est parfaitement explicable à un niveau colège avec quelques dessins.
Il y a simplement une petite astuce, c'est que, contrairement au plan, la notion de polygônes sphérique commence avec la notion de "diangles" (deux sommets seulement, MAIS, les sommets ne sont pas quelconques...)
Quel lien y-a-t'il entre la somme des angles d'un diangle et sa surface ?
Ensuite, si on considère un "triangle", et ben en fait il y a tout plein de "diangles" cachés derrière (le dessin en 3d est un peu chiant à faire...)
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Ben314
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par Ben314 » 30 Mar 2010, 00:21

Un "diangle" est la surface comprise entre deux "segments" reliants des points antipodaux. Il est clair que les deux angles d'un diangle sont égaux et que la surface du diangle est proportionnelle à "son" angle. Comme l'angle radians donne la surface si , en général, on a

Venons en au cas du triangle :
Image
La réunion des surfaces et définissent un diangle d'angle donc .
De même, on a et .
Pour des raisons de symétrie (centrale), on a ausi .
Enfin, comme cette surface représente une demi sphère, on a .
Mézalors,


En fait, pour un polygône sphérique (non croisé) à cotés, la somme des angles vaut
(où =surface), y compris lorsque ...
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par ffpower » 30 Mar 2010, 00:55

AU passage, cette formule permet de récupérer assez rapidement la formule d Euler: pour un polyedre convexe, on a (nb de sommets)-(nb d arretes)+(nb de faces)=2

boumba daboum
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par boumba daboum » 30 Mar 2010, 14:17

Un appoint en BD scientifique :

Sur ce sujet spécifique :
Jean Pierre Petit : Le Géométricon

et toute la série :

Jean-Pierre Petit : téléchargements autorisés (merci Jean-Pierre)

à consommer et faire consommer sans aucune modération.

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Lostounet
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par Lostounet » 30 Mar 2010, 17:34

Je dois avouer que j'ai un peu perdu le fil :( Désolé!
Je ne sais pas c'est quoi un radian (c'est pour les angles comme les degrés?).
Comment avoir ces formules mystérieuses mais puissantes ? :doh:
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

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Lostounet
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par Lostounet » 30 Mar 2010, 17:42

Boumba: Tes liens sont intéressants ! Je vais voir si je comprendrai. Merci!
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

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Ben314
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par Ben314 » 30 Mar 2010, 18:54

Pour le radian, c'est l'unité angulaire la plus utilisée en math "un peu élevée"
En fait, il y a 4 unitées fréquement utilisées pour mesurer les angles :
Les tours, les degrés, les grades, les radians.
On a les égalités suivantes (définitions) :
1 tour = 360 degrés = 400 grades = radians.
donc, par exemple,
un quart de tour = 90 degrés = 100 grades = radians.
Je ne sais pas si on voit la "formule" que j'utilise : surface d'une sphère = (ou R est le rayon) au collège...
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Doraki
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par Doraki » 30 Mar 2010, 19:00

J'ajouterais que les grades ne sont absolument jamais utilisés en math.
Et les degrés, assez peu finalement.

1 radian = l'angle qu'il faut pour que sur un cercle de rayon 1 unité, la portion de cercle correspondant à une ouverture de 1 radian fasse 1 unité.

Pour des angles "en 3d", en physique on parlait de stéradian.
( = ouverture qu'il faut pour avoir une surface de 1 unité² sur une sphère).

Là dans la formule de somme des angles dans un triangle, on additionne des radians avec des stéradians, parcequ' au fond, ces trucs là n'ont pas d'unité.

boumba daboum
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par boumba daboum » 30 Mar 2010, 19:12

J'ajouterai le millième, unité d'angle militaire, qui est l'angle sous lequel on voit un mètre à un kilomètre...

Et n'allez pas leur dire que c'est peu ou prou un milliradian !

Sylviel
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par Sylviel » 30 Mar 2010, 21:12

je dirais un miliradian... :-D Mais faut leur expliquer pourquoi : DL de tan, majoration de Taylor Lagrange...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

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Ben314
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par Ben314 » 03 Avr 2010, 00:56

Si on veut chercher toutes les unités utilisées, il y a aussi les heures :
"Capitaine, capitaine, bateau pirate à 11 heures..."
Il me semble que c'est bien une unité angulaire.
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