En fait, ce dont tu parle, les "arcs" permettant d'aller de A à B par "un coté" ou par "l'autre coté" ça correspond plutôt à la notion de segment dans le plan.
Et, effectivement, entre A et B, il y a deux "segments" (alors que dans le plan il n'y en a qu'un : on ne peut pas passer "par l'autre coté" qui est infini) en général l'un des deux est plus court que l'autre et c'est lui qui représente le plus court chemin.
La "droite" allant de A à B est en fait tout le grand cercle, c'est à dire la réunion des deux "segments" (cela correspond dans le plan à voir une droite comme la réunion d'un segment et de deux demi droites).
Pour faire une "droite" de A à B, il faut prendre la coupe de la sphère par un plan passant par A et par B mais aussi par le centre O de la sphère (pour que ce soit une "droite"). Or combien de plan y a-t'il passant par 3 points distincts ?
En général un seul (donc une seule droite passant par A et B) SAUF si les trois points sont alignés, ce qui signifie que A et B sont diamétralement oposés sur la sphére (on parle "d'antipodes") : dans ce cas, il y a une infinité de droites passant par A et B. En fait, sur terre, si tu est pile au pôle Nord et qu'on te demande le chemin le plus court pour aller au pôle Sud...
Une fois à peu prés compris la notion de "ligne droite" sur la terre, on peut évidement définir les triangles : c'est une portion de la sphére dont les cotés sont trois lignes droites.
Il faut faire attention à ce que, contrairement au plan, la donnée de trois points de défini pas un triangle : si A,B,C sont trois points (non antipodes) on trace l'unique "droite" (AB), la "droite" (AC) et la "droite" (BC) et cela coupe la sphère en... 8 régions qui mériteraient toutes le nom de "triangle ABC". (Si on fait la même chose dans le plan, on n'obtient que 7 régions dont une seule n'est pas "infinie" : c'est évidement elle que l'on appelle le "triangle ABC")
Pour imaginer un "triangle" trés simple sur la sphère, tu peut prendre le pôle nord N et 2 points A,B (non antipodes) à l'équateur : la droite (AB) est l'équateur et les droites (NA) et (NB) sont des méridiens (sort un globe si tu en as un) : tu constate que ce "triangle" a deux angles droits en A et en B et un troisième angle (en N)... quelconque.
En fait un joli résultat est que, sur une sphére, la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°+quelque_chose et que le quelque chose est linéairement proportionnel à... la surface du triangle.