Somme des angles = 180 degrés ?

par **Lostounet** » 29 Mar 2010, 18:43

Bonsoir ! Vous allez bien?

J'aimerais savoir comment pouvoir démontrer que la somme des mesures des angles dans un triangle quelconque est égale à 180 degrés, parce que, si ma mémoire est bonne, on l'avait simplement démontré par découpage et collage en cinquième, ce qui ne constitue évidemment pas une preuve mathématiques ! :doh:

Après un peu de réflexion là-dessus, je prévois donc l'étude d'un système d'inéquations peut-être? Je ne sais pas !

Merci de votre aide !

P.S: J'aimerais aussi savoir si les rapports trigonométriques (généralisés) y sont pour quelque chose ?

par **Nightmare** » 29 Mar 2010, 18:49

Salut,

a priori, si l'on "décale" le côté [AB] jusqu'à ce qu'il passe par C, c'est simplement la propriété des angles alternes-internes.

Je te fais un dessin.

par **Nightmare** » 29 Mar 2010, 18:53

Vu que c'est comme ça qu'ils font sur wikipédia, je plagie leur dessin :

par **Lostounet** » 29 Mar 2010, 18:53

Merci de ta réponse rapide (comme d'habitude :)). J'attends la figure donc. *drools*

par **beagle** » 29 Mar 2010, 18:53

tu as du le voir aussi avec une droite parallèle à un des cotés passant par sommet opposé,
les angles du triangle se retrouvent sur cette parallèle à faire un angle plat de 180.

bon maintenant si les angles formés par une sécante de deux parallèles sont égaux, je sais pas bien le formulé, cela porte un nom oublié,
bref si on se sert de la somme des angles d'un triangle pour le démontrer, je suis cuit,
mais cela m'étonnerait.

par **beagle** » 29 Mar 2010, 18:55

avec Nightmare c'est plus rapide, et tu as le nom du truc machin alterne-interne,...

par **Sylviel** » 29 Mar 2010, 18:56

Bof de toute manière la somme des angles d'un triangle ne vaut pas toujours 180°... :zen:

par **Lostounet** » 29 Mar 2010, 18:57

Tu veux parler d'angles alternes/internes - correspondants?

par **Lostounet** » 29 Mar 2010, 18:57

Sylviel a écrit:Bof de toute manière la somme des angles d'un triangle ne vaut pas toujours 180°... :zen:

Que des mensonges :marteau: :ptdr:

par **Nightmare** » 29 Mar 2010, 18:58

Sylviel a écrit:Bof de toute manière la somme des angles d'un triangle ne vaut pas toujours 180°... :zen:

Intra géométrie Euclidienne?

par **Sylviel** » 29 Mar 2010, 19:00

Non, non, je ne mens pas, il y a bien des triangles dont la somme des angles vaut plus que 180°, tout comme il y a bien des nombres dont le carré est négatif...

Mais j'ai dit ça uniquement pour piquer ta curiosité et me faire hïr du reste des membres du forum qui aurait à t'expliquer comment c'est possible si jamais tu venais à poser la question... :ptdr:

par **Ben314** » 29 Mar 2010, 19:06

En ce qui conserne les sphères (= courbure constante positive), il y a une preuve extrèmement élémentaire.
Le seul point un tant soit peu délicat est plutôt la notion de géodésique...

par **Lostounet** » 29 Mar 2010, 19:07

Sylviel a écrit:Non, non, je ne mens pas, il y a bien des triangles dont la somme des angles vaut plus que 180°, tout comme il y a bien des nombres dont le carré est négatif...

Mais j'ai dit ça uniquement pour piquer ta curiosité et me faire hïr du reste des membres du forum qui aurait à t'expliquer comment c'est possible si jamais tu venais à poser la question... :ptdr:

Je sais bien que tu ne mens pas mdr.
Alors.. Let's get this started.. C'est quoi cette histoire :ptdr:

par **Nightmare** » 29 Mar 2010, 19:11

Cf géométrie sphérique par exemple.

par **Lostounet** » 29 Mar 2010, 19:18

Très intéressant !!! Je vais perdre la tête sur ce forum O_O

par **Joker62** » 29 Mar 2010, 19:22

Moi je bannierai Sylviel du forum si je pouvais lol :D

par **Ben314** » 29 Mar 2010, 19:22

Tu te place sur une sphère (par exemple la terre en supposant qu'elle est parfaitement sphérique) et tu voudrait faire de la géométrie comme dans le plan.
Il faut donc définir les objets "usuels" que l'on utilise dans la géométrie du plan.
1) Les points : pas de problèmes : ce sont les points de la sphère.
2) Les droites : là c'est plus embétant, il y a bien une droite de l'espace à 3 dimension qui relie deux points de la sphére, mais cette droite n'est pas situé sur la sphére. De plus, ce n'est pas vraiment la notion interessante : pour aller de Paris à Tokio, c'est pas demain la veille qu'on ira "en ligne droite" en creusant un tunnel passant presque au centre de la terre !!!
On défini donc la "ligne droite" comme le chemin le plus court pour aller d'un point à un autre en restant tout le temps sur la sphére.
Etant donné deux point A et B sur la sphère, une façon assez simple de faire un chemin allant de A à B est d'imaginer que l'on coupe la sphère suivant un plan qui passe par A et B. La coupe d'une sphère par un plan est un cercle, donc notre chemin est un arc de cercle. Or, si par deux points (du plan) on trace des tas d'arc de cercle, lesquels seront les plus courts ? Un simple dessin permet de voir que l'arc est d'autant plus court que le rayon du cercle est grand. Or quel est le rayon d'un cercle de plus grand rayon possible que l'on peut obtenir en coupant une sphère par un plan ? Bien évidement, c'est le rayon de la sphère que l'on obtient uniquement si le "plan de coupe" passe par le centre de la sphère.
Conclusion : étant donné deux points A et B sur une sphère, parmi les arc de cercles reliant A à B, le plus court est celui correspondant à une coupe par un plan passant par le centre de la sphère.
En fait, on peut montrer, (mais c'est plus compliqué) qu'un tel arc est le plus court de TOUT les chemins reliant A à B (et pas seulement le plus court des arcs de cercle)
La "coupe" de la sphère par un plan passant par le centre de la sphére est appelé un "grand cercle" est c'est une "géodésique", c'est à dire une courbe minimisant la distance entre deux points donnés : c'est ces courbes là qui jouent le rôle des droites du plan.

Jusque là, tu suis ?

par **Ben314** » 29 Mar 2010, 19:31

Bon, j'avais pas vu l'heure, il faut que je me bouge...

Si tu veut voir si tu as bien compris, tu peut essayer de répondre à cette question :
Par deux points de la sphère, passe t'il toujours une unique "droite" ?

Quand tu as la réponse, regarde si dessous (en blanc)

Est tu sûr qu'il n'y as pas un cas particulier ?

par **Lostounet** » 29 Mar 2010, 19:39

Joker62 a écrit:Moi je bannierai Sylviel du forum si je pouvais lol

:ptdr: Meuh non, Sylviel est un des rarissimes à satisfaire mes besoins caloriques en maths

Ben314 a écrit:Tu te place sur une sphère (par exemple la terre en supposant qu'elle est parfaitement sphérique) et tu voudrait faire de la géométrie comme dans le plan.
Il faut donc définir les objets "usuels" que l'on utilise dans la géométrie du plan.
1) Les points : pas de problèmes : ce sont les points de la sphère.
2) Les droites : là c'est plus embétant, il y a bien une droite de l'espace à 3 dimension qui relie deux points de la sphére, mais cette droite n'est pas situé sur la sphére. De plus, ce n'est pas vraiment la notion interessante : pour aller de Paris à Tokio, c'est pas demain la veille qu'on ira "en ligne droite" en creusant un tunnel passant presque au centre de la terre !!!
On défini donc la "ligne droite" comme le chemin le plus court pour aller d'un point à un autre en restant tout le temps sur la sphére.
Etant donné deux point A et B sur la sphère, une façon assez simple de faire un chemin allant de A à B est d'imaginer que l'on coupe la sphère suivant un plan qui passe par A et B. La coupe d'une sphère par un plan est un cercle, donc notre chemin est un arc de cercle. Or, si par deux points (du plan) on trace des tas d'arc de cercle, lesquels seront les plus courts ? Un simple dessin permet de voir que l'arc est d'autant plus court que le rayon du cercle est grand. Or quel est le rayon d'un cercle de plus grand rayon possible que l'on peut obtenir en coupant une sphère par un plan ? Bien évidement, c'est le rayon de la sphère que l'on obtient uniquement si le "plan de coupe" passe par le centre de la sphère.
Conclusion : étant donné deux points A et B sur une sphère, parmi les arc de cercles reliant A à B, le plus court est celui correspondant à une coupe par un plan passant par le centre de la sphère.
En fait, on peut montrer, (mais c'est plus compliqué) qu'un tel arc est le plus court de TOUT les chemins reliant A à B (et pas seulement le plus court des arcs de cercle)
La "coupe" de la sphère par un plan passant par le centre de la sphére est appelé un "grand cercle" est c'est une "géodésique", c'est à dire une courbe minimisant la distance entre deux points donnés : c'est ces courbes là qui jouent le rôle des droites du plan.

Jusque là, tu suis ?

Oui, je pense suivre. Mais j'ai du mal à concevoir: Le plus court chemin reliant A et B est l'arc issu de la section par le "plan de coupe" si j'ai compris? Parce que en prenant les autres cercles plus petits, on verra que l'arc AB est trop important par rapport au "contour" de ces-derniers? Désolé, c'est la première fois que j'aborde ces notions, l'erreur est humaine ! :happy2:

par **Lostounet** » 29 Mar 2010, 19:42

Ben314 a écrit:Bon, j'avais pas vu l'heure, il faut que je me bouge...

Si tu veut voir si tu as bien compris, tu peut essayer de répondre à cette question :
Par deux points de la sphère, passe t'il toujours une unique "droite" ?

Quand tu as la réponse, regarde si dessous (en blanc)

Est tu sûr qu'il n'y as pas un cas particulier ?

Euh, si j'ai bien compris, il y a effectivement deux droites. Celle "AB" donc l'arc normal, et celui de l'autre coté "BA" "d'en-bas" ?

Somme des angles = 180 degrés ?

Somme des angles = 180 degrés ?

Qui est en ligne