Quelle équation correspond à cette suite ?

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leon1789
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par leon1789 » 17 Juil 2012, 18:52

crocrodil a écrit:Voilà, je recherche une équation qui correspond à cette suite (colonne de droite), sachant que les nombres ont été arrondis car normalement il y a des décimales...

merci d'avance !

Image

Pour s'amuser, voici quelques approximations avec des ensembles (*) de fonctions à 3 paramètres a,b,c, et le "score" :

Polynôme :
a=27.5 , b=-0.812 , c=-0.1979 , s ~ 781

Logarithme :
a=496 , b=-126.9 , c=-46.35 , s ~ 451

Homographie :
a=-123.3 , b=-8506 , c=-62.12 , s ~ 83

Exponentielle :
a=-10 , b=27.9 , c=0.0567 , s ~ 13


Mis à part pour les polynômes où le résultat est optimal, je ne sais pas si je suis tombé sur les fonctions minimisant s. C'est possible que non.



(*)
Est-ce que vous connaissez des ensembles E de fonctions à 2 ou 3 paramètres qui soient stables par composition (à droite et à gauche) avec des homothétie-translations ?
Formellement, , avec , on a et .


EDIT : les ensembles de fonctions ci-dessus sont stables par composition par homothéties-translations, mais j'en cherche d'autres. Si vous avez des idées... :lol3:



Dlzlogic
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par Dlzlogic » 17 Juil 2012, 19:16

Là j'ai un peu de mal à te suivre.
Tu me donnes un lien concernant la méthode des moindres carrés, en me demandant s'il y a une réponse possible. Je te fais une longue réponse, en temps tu rajoutes un truc où il s'agit de nuance de vocabulaire que j'ai du mal à saisir.
Comme tu ne dis rien à propos de ma réponse, je suppose que tu es d'accord. "Qui ne dit mot consent", adage bien connu.

Ensuite, tu me balances toute une série de fonctions. Qu'est-ce que tu veux prouver, qu'il en existe d'autres, ben oui naturellement, que je suis un imbécile, si ça peut te faire plaisir, que tu en sais plus que moi, y'a aucun doute.

Mais si tu as du temps à perdre, je te propose un truc.
Soit une liste d'observations, chaque observation contient 10 valeurs.
On effectue 25 observations ou plus.
Le but est de trouver une relation qui permette de définir un modèle.
Autrement dit, c'est exactement le problème de crocodil, sauf que au lieu de 2 valeurs par observation, il y en a de 4 à 10 (avec 3 c'est déjà fait).
Je ne donne pas d'exemple, il s'agit de trouver une méthode suffisamment générale.
Cette question n'est pas du tout anecdotique. J'ai une proposition de solution, mais vu ton imagination, je suis sûr que tu trouveras mieux.

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fatal_error
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par fatal_error » 17 Juil 2012, 19:49

Formellement, avec , on a et


on cherche f, telle que
si jme trompe pas, on peut chercher u solution de ax+b=x,
cad
pour avoir

Comme décrit R, alors on peut conclure que pour tout x de R, f(x)=x
non?
la vie est une fête :)

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leon1789
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par leon1789 » 17 Juil 2012, 20:03

Dlzlogic a écrit:Là j'ai un peu de mal à te suivre.
Tu me donnes un lien concernant la méthode des moindres carrés, en me demandant s'il y a une réponse possible.

non, je proposais une réponse possible (le petit document) où les probas étaient liées au moindres carrés.
Je ne te posais pas une question, je répondais à Mathusalem. Si ça peut te rassurer, je ne pensais pas à toi... Ne crois pas que tous mes messages te sont destinés :lol3:

Dlzlogic a écrit:Je te fais une longue réponse, en temps tu rajoutes un truc où il s'agit de nuance de vocabulaire que j'ai du mal à saisir.
Comme tu ne dis rien à propos de ma réponse, je suppose que tu es d'accord. "Qui ne dit mot consent", adage bien connu.

Quand j'ai posté mon message avec les divers ensembles de fonctions, je n'avais pas vu ton commentaire du document.

Dlzlogic a écrit:Ensuite, tu me balances toute une série de fonctions. Qu'est-ce que tu veux prouver, qu'il en existe d'autres, ben oui naturellement, que je suis un imbécile, si ça peut te faire plaisir, que tu en sais plus que moi, y'a aucun doute.

Ne délire pas, c'est pas la peine. Les exemples de fonctions sont là pour illustrer ma question sur les ensembles stables par composition avec les homothéties-translations en fin de message. Les ensembles que j'ai donnés sont stables. Mais je demande d'autres exemples.
Si ça peut te rassurer, je ne pensais pas à toi... Ne crois pas que tous mes messages te sont destinés :lol3: :lol3:

Dlzlogic a écrit:Mais si tu as du temps à perdre, je te propose un truc.
Soit une liste d'observations, chaque observation contient 10 valeurs.
On effectue 25 observations ou plus.
Le but est de trouver une relation qui permette de définir un modèle.
Autrement dit, c'est exactement le problème de crocodil, sauf que au lieu de 2 valeurs par observation, il y en a de 4 à 10 (avec 3 c'est déjà fait).
Je ne donne pas d'exemple, il s'agit de trouver une méthode suffisamment générale.
Cette question n'est pas du tout anecdotique. J'ai une proposition de solution, mais vu ton imagination, je suis sûr que tu trouveras mieux.

Je ne suis pas statisticien, mais allons-y pour voir.
Dans l'exemple de crocodil, il y a les listes X et Y : à chaque valeur est associée une valeur . Ok.
Maintenant, tu veux que les appartiennent à et/ou appartiennent à ?

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leon1789
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par leon1789 » 17 Juil 2012, 20:14

fatal_error a écrit:on cherche f, telle que

Ce n'est pas la question que je posais. Là, tu es trop restrictif.

fatal_error a écrit:si jme trompe pas, on peut chercher u solution de ax+b=x,
cad
pour avoir

Comme décrit R, alors on peut conclure que pour tout x de R, f(x)=x
non?

Si tu prends pour tous x, a et b,
alors pour tout b, donc f=Id.
OK

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par Dlzlogic » 17 Juil 2012, 20:19

Oui, effectivement j'avais cru que ce lien m'était destiné.
Le problème des ajustements est très simple : on a une liste d'observations. On cherche
1- à vérifier pour les exclure qu'aucune observation n'est "douteuse"
2- dans le cas général et habituel où ces x ne sont par des entiers consécutifs, il s'agit donc d'un nuage de points
3- pouvoir interpoler facilement une valeur (dans un sens ou dans l'autre)
4- éventuellement pouvoir extrapoler une valeur
5- trouver une "formule" plus facile à manipuler qu'une longue liste.
Je sais c'est bêtement matérialiste mais très utile.

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fatal_error
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par fatal_error » 17 Juil 2012, 20:54

Si tu prends f(ax+b)=af(x)+b pour tous x, a et b,
alors f(b)=f(0.x+b)=0.f(x)+b=b pour tout b, donc f=Id.
OK

chui passé avec mon u, parce que tu avais dit a!=0.

Sinon
Ce n'est pas la question que je posais. Là, tu es trop restrictif.

edit: ah stabilité. Ils sont déjà gras ces mots là!
la vie est une fête :)

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leon1789
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par leon1789 » 17 Juil 2012, 21:00

fatal_error a écrit:chui passé avec mon u, parce que tu avais dit a!=0.

ah oui, exact !

fatal_error a écrit:Sinon
edit: ah stabilité. Ils sont déjà gras ces mots là!

oui, il faut que l'ensemble soit stable (globalement), mais pas que les fonctions soient fixées (trop restrictif).
Exemple simple avec les polynômes : tu prends un polynôme de degré d>0 et tu le composes avec ax+b (à gauche ou à droite), tu retombes sur un polynômes de degré d (car a non nul :lol3: ).
De même avec les autres ensembles que j'ai précisés.

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leon1789
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par leon1789 » 17 Juil 2012, 21:05

Dlzlogic a écrit:c'est exactement le problème de crocodil, sauf que au lieu de 2 valeurs par observation, il y en a de 4 à 10

leon1789 a écrit:Je ne suis pas statisticien, mais allons-y pour voir.
Dans l'exemple de crocodil, il y a les listes X et Y : à chaque valeur est associée une valeur . Ok.
Maintenant, tu veux que les appartiennent à et/ou appartiennent à ?

Dlzlogic a écrit:Le problème des ajustements est très simple : on a une liste d'observations. On cherche
1- à vérifier pour les exclure qu'aucune observation n'est "douteuse"
2- dans le cas général et habituel où ces x ne sont par des entiers consécutifs, il s'agit donc d'un nuage de points
3- pouvoir interpoler facilement une valeur (dans un sens ou dans l'autre)
4- éventuellement pouvoir extrapoler une valeur
5- trouver une "formule" plus facile à manipuler qu'une longue liste.
Je sais c'est bêtement matérialiste mais très utile.

Tu ne réponds pas à ma question... tu veux que les appartiennent à et/ou appartiennent à ?

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 17 Juil 2012, 21:25

Si la question m'est adressée, je ne la comprends pas et je ne veux rien de particulier.
Si la question ne m'est pas adressée, pardon d'être intervenu dans votre discussion.
Dans tous les cas, il me paraitrait bon de bien préciser dans nos échanges, le destinataire et surtout de quoi il s'agit.

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leon1789
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par leon1789 » 17 Juil 2012, 21:57

Dlzlogic a écrit:Si la question m'est adressée, je ne la comprends pas et je ne veux rien de particulier.

Dois-je te rappeler que c'est toi qui parlais il y a même pas trois heures de généraliser l'exemple de crocodil à plusieurs "valeurs" ... :marteau:
Dlzlogic a écrit:Dans tous les cas, il me paraitrait bon de bien préciser dans nos échanges, le destinataire et surtout de quoi il s'agit.

Justement, c'est ce que je te demande : précise ce que tu entends par "c'est exactement le problème de crocodil, sauf que au lieu de 2 valeurs par observation, il y en a de 4 à 10" ! :mur: A chaque observation, tu as combien de x et combien de y ? ben oui, 4 = 1+3 = 2+2 = 3+1 ... Rien que cette question, tu ne la comprends pas, c'est dire... Bon laisse tomber, tout cela ne mènera à rien comme d'habitude.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 18 Juil 2012, 11:45

Bon encore une fois, je me suis mal exprimé, et toi tu comprends toujours. Donc je réexplique ce que je demande;
Cas de crocodil N mesures de 2 valeurs. Ici N=41.
Cas de 3 valeurs N mesures de 3 valeurs, X, Y, Z. Problème résolu
Cas proposé : N mesures de M valeurs, 4 <= M <=10
En d'autres termes, on a une liste de M inconnues X,Y,Z,T,U,V,W.

On pourrait dire aussi il y a 9 xi et un y, ce qui sera l'utilisation la plus fréquente, mais comme la monotonie est une hypothèse de base, on peut dire aussi qu'il y a 10 xi et que chacun de ces 10 xi peut jouer le rôle du y.

Il s'agit de trouver une relation que l'on puisse appliquer dans tous les cas, en première approximation.

Ce n'est pas parce qu'on ne parle pas la même langue qu'on ne peut pas essayer de se comprendre.

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leon1789
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par leon1789 » 18 Juil 2012, 12:14

Dlzlogic a écrit:Ce n'est pas parce qu'on ne parle pas la même langue qu'on ne peut pas essayer de se comprendre.

Si tu employais un langage consacré (par exemple "variables expliquées" et "variables explicatives"), ça irait peut-être mieux, non ? Mais encore une fois, je ne suis pas un professionnel en stats...

Dlzlogic a écrit:Bon encore une fois, je me suis mal exprimé, et toi tu comprends toujours. Donc je réexplique ce que je demande;
Cas de crocodil N mesures de 2 valeurs. Ici N=41.
Cas de 3 valeurs N mesures de 3 valeurs, X, Y, Z. Problème résolu
Cas proposé : N mesures de M valeurs, 4 <= M <=10
En d'autres termes, on a une liste de M inconnues X,Y,Z,T,U,V,W.

Ce que tu répètes là est trop vague car on ne distingue pas le rôle des M "inconnues"... Tu parles uniquement de M = la somme de deux entiers, et il faut qu'on devine les deux entiers. :doh:

Dlzlogic a écrit:On pourrait dire aussi il y a 9 xi et un y,

Ah enfin, ça devient plus net : (9 variables explicatives) et (1 variable expliquée). Mais il te faut 3 ou 4 messages pour cela...

Dlzlogic a écrit:Il s'agit de trouver une relation que l'on puisse appliquer dans tous les cas, en première approximation.

La régression linéaire multiple ne convient pas comme première approximation ?

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 18 Juil 2012, 13:05

[HS : concernant les efforts d'adaptation que j'ai faits, ou pas faits, je sais bien que c'est la mode de faire de la formation continue, mais là j'ai passé l'age /HS]
La régression linéaire multiple ne convient pas comme première approximation ?
C'est effectivement une possibilité. Probable que ce soit intéressant pour un grand nombre de variables, puisque le poids de chaque terme n'influe que pour une faible proportion.
Mais en fait, ce que je cherche et surtout son argumentaire. C'est une fonction qui serait applicable dans tous les cas, après vérification de la vraisemblance, c'est à dire en l'occurrence de l'écart type du résultat.
En termes moins mathématiques, j'aimerais que, sous cette condition de vraisemblance, même si elle n'est pas la meilleure, la précision du résultat cadre avec les hypothèses de travail.

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leon1789
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par leon1789 » 18 Juil 2012, 13:24

Dlzlogic a écrit: C'est effectivement une possibilité. Probable que ce soit intéressant pour un grand nombre de variables, puisque le poids de chaque terme n'influe que pour une faible proportion.

Et il n'y a, encore une fois, aucune hypothèse de monotonie. On ne verra donc jamais de références où cette propriété est utile ?

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 18 Juil 2012, 13:50

leon1789 a écrit:Et il n'y a, encore une fois, aucune hypothèse de monotonie. On ne verra donc jamais de références où cette propriété est utile ?
Si, cette hypothèse de monotonie c'est moi qui la donne. Si ça n'est pas le cas, et ça pourrait arriver, alors on scinde le domaine de définition.

Petit exemple d'application très simple, on veut étudier le fonction dont la courbe correspond au trajet d'un ballon de foot ou de rugby. Si on ne dissocie pas la phase de montée et la phase de descente, il est impossible de déduire la distance du ballon au pied du joueur pour une hauteur donnée. Par contre, si on a pris la précaution de définir 2 domaines de définition de façon que les fonctions soient monotones, le problème est possible.
Bien-sûr, il ne faut pas perdre de vue que ce type d'outil est prévu pour être utilisé "les yeux fermés". Et surtout ils est hors de question d'être obligé de se reposer des problèmes existentiels à chaque utilisation.

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leon1789
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par leon1789 » 18 Juil 2012, 14:39

Dlzlogic a écrit:Si, cette hypothèse de monotonie c'est moi qui la donne. Si ça n'est pas le cas, et ça pourrait arriver, alors on scinde le domaine de définition.

Petit exemple d'application très simple, on veut étudier le fonction dont la courbe correspond au trajet d'un ballon de foot ou de rugby. Si on ne dissocie pas la phase de montée et la phase de descente, il est impossible de déduire la distance du ballon au pied du joueur pour une hauteur donnée. Par contre, si on a pris la précaution de définir 2 domaines de définition de façon que les fonctions soient monotones, le problème est possible.

Sur cet exemple, on peut prendre le problème dans le sens le plus simple : connaitre la hauteur de la ballon en fonction de la distance du ballon au pied du joueur. Ton découpage est là pour inverser cette fonction en la rendant bijective par intervalle. Cela n'a pas l'air d'être réellement en lien avec l'approximation d'un nuage de points, c'est un problème d'inversion.

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par Dlzlogic » 18 Juil 2012, 15:26

leon1789 a écrit:Sur cet exemple, on peut prendre le problème dans le sens le plus simple : connaitre la hauteur de la ballon en fonction de la distance du ballon au pied du joueur. Ton découpage est là pour inverser cette fonction en la rendant bijective par intervalle. Cela n'a pas l'air d'être réellement en lien avec l'approximation d'un nuage de points, c'est un problème d'inversion.

A un moment, au sens logique du calcul, on évalue les dérivées partielles, puis on écrit qu'elles s'annulent.
Si une variable a une variation non monotone, sa dérivée partielle va changer de signe. L'équation où elle figure n'est plus linéaire, donc le système ne peut pas être résolu. Je sais bien que ce n'est pas une démonstration. L'hypothèse de monotonie fait partie des hypothèses du calcul que je propose, j'essaye seulement d'expliquer pourquoi.

Mais je ne comprends pas pourquoi cette hypothèse de monotonie te tracasse à ce point.
Le cas où la fonction ne serait pas dérivable en un point (point anguleux) est du même ordre. Je l'ai précisé dans un message précédent, mais c'est plus difficile à exprimer dans le cas d'un grand nombre de variables. Donc j'ai fait l'impasse.
Dans l'hypothèse où le cas se présenterait, les valeurs résultantes devraient montrer une anomalie qui devrait permettre à l'utilisateur d'agir en conséquence, c'est à dire, scinder le domaine de définition. A noter que au voisinage de la limite entre 2 domaines de définition, il me semble illusoire d'imaginer une possibilité de continuité.

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leon1789
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par leon1789 » 18 Juil 2012, 15:36

Dlzlogic a écrit:Mais je ne comprends pas pourquoi cette hypothèse de monotonie te tracasse à ce point.

parce que mettre des hypothèses où il n'y en a pas besoin ne coule pas de soi en math.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 18 Juil 2012, 15:54

leon1789 a écrit:parce que mettre des hypothèses où il n'y en a pas besoin ne coule pas de soi en math.

Pour définir un énoncé de problème, il faut fixer des hypothèses. Qu'elles soient utiles ou pas ne regarde que moi, puisque c'est moi qui précise l'énoncé.
Mais libre à toi de les ignorer.
Par exemple, si je demande de démontrer que les hauteurs d'un triangle équilatéral se coupent en un seul point. Il est bien évident que l'hypothèse "équilatéral" est inutile, mais rien ne m'interdit de l'y mettre.
Il y a deux méthodes d'approche, soit démontrer le cas général et vérifier que le cas particulier fait partie du cas général, soit démontrer suivant les hypothèses proposées et signaler dans la conclusion que l'une des hypothèses est superflue.

 

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