Quelle est cette courbe ?

[Plimpton]

Bonjour à tous ! J'ai découvert il y a peu une courbe que vous connaissez peut-être, que je n'arrive pas à identifier. Voici comment on la construit :

-prendre un repère orthonormé, et choisir un nombre n (par exemple 10)
-relier chaque point de l'axe des abcisses appartenants à [0;n] à un point de l'axe des ordonnées, tel que la somme de l'abcisse du point qui est sur l'abcisse, et de l'ordonnée du point qui est sur l'ordonnée, fasse n. Par exemple, si on prend n=10, on relie le point A(0;9) au point B(1;0), le point C(4;0) au point D(0;6), etc.

En procédant ainsi pour un grand nombre de points, on obtient une courbe (à la "surface" de tous les traits qu'on a fait). J'ai d'abord essayé de voir si cette courbe représentait un arc de cercle, mais j'ai prouvé assez simplement que ce n'est pas le cas. Donc je voulais savoir si cette courbe a un nom ou pas :) merci d'avance !

[Robot]

astroïde (cliquer)

[Plimpton]

Oh ! Merci beaucoup !

[Ben314]

J'ai des doutes : j'aurais plutôt tendance a penser que c'est (plus simplement) une portion d’ellipse.

[Ben314]

J'ai des doutes : j'aurais plutôt tendance a penser que c'est (plus simplement) une portion de parabole.

[Robot]

Oui, tu as raison, j'ai confondu avec l'enveloppe d'un segment de longueur constante !

[Plimpton]

Attendez ... Non, c'est bien un (/une ?) astroïde, non ? :doute2:

[Robot]

Non. Une astroîde est la courbe que tu obtiendrais comme enveloppe d' un segment de longueur constante dont les extrémités sont respectivement sur l'axe des x et l'axe des y. Or ton segment n'est pas de longueur constante. Ses extrémités ont des mouvements rectilignes uniformes sur l'axe des x et l'axe des y. Son enveloppe est bien un arc de parabole.

[Plimpton]

Aaah oui ... Alors comment pourrait-on prouver que c'est un arc de parabole ?

[Robot]

Un moyen est la méthode classique d'étude des enveloppes de droites : on écrit D(t)=0 l'équation des droites de la famille en fonction d'un paramètre t (par exemple, ici, t est l'abscisse du point d'intersection de la droite de la famille avec l'axe des abscisses). On résoud le système linéaire D(t)=0, D'(t)=0 (D' la dérivée par rapport à t) en x et y, et on obtient une paramétrisation de l'enveloppe.