Quelle équation correspond à cette suite ?

[crocrodil]

Voilà, je recherche une équation qui correspond à cette suite (colonne de droite), sachant que les nombres ont été arrondis car normalement il y a des décimales...

merci d'avance !

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je veux bien vous la calculer, mais j'ai pas envie de tout retaper, alors in faudrait mettre cette liste sous forme copiable.

[crocrodil]

Bonjour,
Je veux bien vous la calculer, mais j'ai pas envie de tout retaper, alors in faudrait mettre cette liste sous forme copiable.

comme ça c'est mieux ?

19
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142
151
161
171
181
192
204
217
230
245
260
276

[Dlzlogic]

Bon, je sais pas si j'ai le droit. :stupid_in

J'ai tout de même dû me taper la première colonne.

Régression linéaire Y=A + B * X nbpts=41 A = -20.9 B = 5.94 R2 = 0.921
Ajustement exponentielle Y=A * e puis(B * X) nbpts=41 A = 19.9 B = 0.0655 R2 = 0.997
Ajustement logarithmique Y=A + B * ln(X) nbpts=41 A = -82.4 B = 67.0 R2 = 0.625
Ajustement puissance Y=A * X puiss(B) nbpts=41 A = 7.65 B = 0.838 R2 = 0.872

Le meilleur, extrapolation Exponentielle

Le résultat est sans ambigüité et même très bon.

[leon1789]

Ce n'est pas du tout une exponentielle du type :
en tenant compte des erreurs d'arrondi, les données postées par crocodil sont les valeurs de ce polynôme
.

[Mathusalem]

Ce n'est pas du tout une exponentielle du type :
en tenant compte des erreurs d'arrondi, les données postées par crocodil sont les valeurs de ce polynôme
.

Sur quoi tu te bases pour écarter la solution exponentielle ? Sur le domaine que donne crocrodil, ta courbe et la courbe exponentielle de Dzlogic n'ont pratiquement aucune différence.

[leon1789]

Sur quoi tu te bases pour écarter la solution exponentielle ? Sur le domaine que donne crocrodil, ta courbe et la courbe exponentielle de Dzlogic n'ont pratiquement aucune différence.

Crocodil demande une "équation qui correspond" aux points donnés. Traduction : une fonction d'interpolation aux points donnés, non ?

Entre le polynôme que je donne et les valeurs de crocodil, la différence maximale aux points est de l'ordre de 0.5. Il serait inutile de chercher quelque chose de plus précis vu que les données ont été arrondies à l'unité près (dixit crocodil).

Avec l'exponentiel donnée par Dlzlogic, la différence maximale est de l'ordre de 15, ce qui est très supérieur à la précision des données de crocodil. Cela ne convient pas.

Si on fait le graphe des différences entre des données et l'exponentielle, on voit par exemple l'exponentielle décoller pour x >35 :
alors le graphe des différences entre des données et le polynôme montre des écarts petits et aléatoires (différents arrondis par défaut ou par excès) :

[leon1789]

Sur quoi tu te bases pour écarter la solution exponentielle ? Sur le domaine que donne crocrodil, ta courbe et la courbe exponentielle de Dzlogic n'ont pratiquement aucune différence.

Crocodil demande une "équation qui correspond" aux points donnés. Traduction : une fonction d'interpolation aux points donnés, non ?

Entre le polynôme que je donne et les valeurs de crocodil, la différence maximale aux points est de l'ordre de 0.5. Il serait inutile de chercher quelque chose de plus précis vu que les données ont été arrondies à l'unité près (dixit crocodil).

Avec l'exponentiel donnée par Dlzlogic, la différence maximale est de l'ordre de 15, ce qui est très supérieur à la précision des données de crocodil. Cela ne convient pas.

Si on dessine le graphe des différences entre les données de crocodil et l'exponentielle, on voit par exemple l'exponentielle décoller pour x >35 :

alors le graphe des différences entre les données et le polynôme montre des écarts petits et aléatoires (dus aux différents arrondis par défaut ou par excès des données de crocodil) :

[Dlzlogic]

@Leon,
Bonjour,
Pour éviter des discussions stériles sur ce sujet, j'ai décidé de rajouter ce type d'ajustement (4è degré) à mes outils.
Peux-tu me donner les indications nécessaires.
Merci.

[leon1789]

Salut

Je ne pense pas (mais je peux me tromper) qu'il existe des formules closes pour l'approximation polynomiale de degré 4. Pour l'implémenter en machine, il faut donc probablement écrire un algorithme.

Des logiciels (comme excel 2007) proposent de réaliser ces approximations polynomiales à des degrés encore plus élevé... donc ça se programme et ça s'utilise dans la vie courante.
Une seule restriction est nécessaire (me semble-t-il) : les abscisses doivent être distinctes.

Pour moi, la justification mathématique de > nécessite la connaissance de l'espace vectoriel des polynômes, des notion de produit scalaire et de norme et de distance, de projections orthogonales, etc.

Ensuite, en fonction des outils de calcul dont on dispose (en vue d'une implémentation en machine), il faut parler :
- soit de procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt et polynômes orthogonaux ;
- soit de gradient, de valeur minimale d'une fonction convexe et d'inverse de matrice (*)

Ce sont des notions que l'on voit en Bac +1 et +2 .... Pour avoir de plus amples informations, je te suggère de chercher de la bibliographie sur > et >.



(*) tu en as déjà vu un aperçu ici : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/550732-calcul-de-courbe-dajustement-un-polynome-second-degre-a-partir-points.html#post4105834
Tu n'as plus qu'à généraliser sans problème au degré 4.

[Skullkid]

Pour éviter des discussions stériles sur ce sujet, j'ai décidé de rajouter ce type d'ajustement (4è degré) à mes outils.

Le même problème risque alors de se représenter si tu manques de voir une bonne approximation polynomiale de degré 3 ou 5 ou autres...

Ce que leon1789 a voulu mettre en exergue, à mon avis, c'est que tu semblais conclure des résultats de ton programme que l'ajustement par l'exponentielle était LA solution, alors que tu as juste calculé que l'exponentielle fournissait un meilleur ajustement que les 3 autres fonctions que tu as testées. Manque de pot, leon1789 a sorti un fonction simple qui marche mieux et qui en plus colle parfaitement aux imprécisions d'arrondi.

D'une façon générale tu ne pourras jamais tester toutes les fonctions possibles, et il y aura toujours une "meilleure" approximation. Par exemple ici on peut sortir un polynôme moche de degré 41 qui passera exactement par les points donnés, bien qu'il fera n'importe quoi entre ces points (et sera donc jugé mauvais, sur d'autres critères que les moindres carrés aux points d'interpolation) contrairement au polynôme simple donné par leon1789. Bref, le message c'est : élargis ton champ de vision et ne tire pas de conclusions trop hâtives. Ne te focalise pas uniquement sur le R², qui ne permet souvent que de comparer deux approximations et ne donne pas toute l'information sur la qualité de l'approximation. Quand tu trouves une approximation qui te semble bonne, ne pense pas que c'est celle-là LA meilleure.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je vous remercie pour vos bonnes paroles.

Pour moi, la justification mathématique de > nécessite la connaissance de l'espace vectoriel des polynômes, des notion de produit scalaire et de norme et de distance, de projections orthogonales, etc.

Pour moi la justification mathématique de n'importe quelle approximation, cad quelle qu'elle soit, par la méthode des moindres carrés, se trouve dans les notions de base des probabilités et de la théorie des erreurs (notions réservées semble-t-il à certaines formations).

Je pensais par ailleurs qu'à partir d'un certain niveau, on pouvait donner des indications, décrire des algorithmes et orienter quelqu'un qui demande de l'aider à établir une fonction.

Je n'ai toujours pas compris pourquoi ce sujet datant d'un mois est ressorti. Y aurait-il du nouveau ?

Enfin, des recherches plus intéressantes concernent l'ajustement de courbes à 3 dimensions et à N dimensions. Ca pourrait faire l'objet d'un défit, mais je me suis déjà assez cassé les dents à ce propos.

Concernant la référence à Excel 2007, c'est toi qui me l'offres ? Par ailleurs, je n'ai jamais fait faire par une machine une chose que je n'aurais pas pu faire moi-même ou au moins que j'aurais pu expliquer dans le détail. Et sur ce point, il est un peu tard pour changer.

[Mathusalem]

Concernant la référence à Excel 2007, c'est toi qui me l'offres ? Par ailleurs, je n'ai jamais fait faire par une machine une chose que je n'aurais pas pu faire moi-même ou au moins que j'aurais pu expliquer dans le détail. Et sur ce point, il est un peu tard pour changer.

Tu peux acquérir Octave qui est bien. Le rendu graphique n'est pas aussi bon que celui de Matlab, mais au moins c'est gratuit. Tu as fait tes régressions sur les 40 points à la main ?

[Dlzlogic]

Tu peux acquérir Octave qui est bien. Le rendu graphique n'est pas aussi bon que celui de Matlab, mais au moins c'est gratuit. Tu as fait tes régressions sur les 40 points à la main ?

Pour la régression, c'est une méthode que je pratique depuis presque 30 ans, le mon outil actuel doit bien dater de 15 ans.

@Skullkid
Un calcul de régression à la puissance 4 nécessite de calculer des somme de valeurs jusqu'à la puissance 8. Je trouve que c'est déjà pas mal. Le nombre de paramètres de la fonction résultat est 5 (cinq), ce qui est déjà assez encombrant. Si le polynôme n'est que de degré 3, alors le premier paramètre est égal à 0, et on est ramené au polynôme de degré 4.
Si on veut une bonne courbe qui passe par un certain nombre de points distincts, la bonne méthode est une succession d'arcs de parabole. Mais ce n'est pas du tout le sujet concerné, puisqu'il s'agit de régression.

[leon1789]

Pour moi la justification mathématique de n'importe quelle approximation, cad quelle qu'elle soit, par la méthode des moindres carrés, se trouve dans les notions de base des probabilités et de la théorie des erreurs (notions réservées semble-t-il à certaines formations).

As-tu des références bibliographiques ? Merci.

Je pensais par ailleurs qu'à partir d'un certain niveau, on pouvait donner des indications, décrire des algorithmes et orienter quelqu'un qui demande de l'aider à établir une fonction.

Exact et c'est ce qui a été fait. D'ailleurs, sur le web, tu pourras trouver autant de documents écrits par des matheux pour présenter l'approximation polynomiale au sens des moindres carrés. Tu y retrouveras les concepts que j'ai soulevés.
Exemples (google est ton ami) :
http://lamfa.u-picardie.fr/chehab/Ens/cours_moindres_carres.pdf
http://team.inria.fr/opale/files/2011/11/Intro-AnalyseNumerique-2009.pdf

Mais faut-il encore que le "quelqu'un" ait un "certain niveau" pour comprendre ou prenne le temps de le faire.

Concernant la référence à Excel 2007, c'est toi qui me l'offres ?

:ptdr: C'est là l'obstacle mathématique ? :lol3:

Ok, il existe aussi des tableurs gratuits, tel OpenOffice.

Par ailleurs, je n'ai jamais fait faire par une machine une chose que je n'aurais pas pu faire moi-même ou au moins que j'aurais pu expliquer dans le détail. Et sur ce point, il est un peu tard pour changer.

On en est tous là, comprendre les concepts avant d'utiliser la machine.
A ce sujet, peux-tu expliquer le "principe de l'indépendance des écarts" auquel tu fais référence ici : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/550732-calcul-de-courbe-dajustement-un-polynome-second-degre-a-partir-points.html#post4106533 ? Expliquer ou simplement donner une référence bibliographique ? Merci.

[leon1789]

Si on veut une bonne courbe qui passe par un certain nombre de points distincts, la bonne méthode est une succession d'arcs de parabole. Mais ce n'est pas du tout le sujet concerné, puisqu'il s'agit de régression.

C'est vrai que ce n'est pas le sujet... mais tout de même, annoncer "LA bonne méthode" est aller vite en besogne. Encore une fois, tout dépend à quel jeu on veut jouer (ie des données, des contraintes imposées et du genre de résultat désiré).

[Dlzlogic]

As-tu des références bibliographiques ?

Ben oui, j'ai pas sorti ça de ma tête. Il y a une vingtaine de page, j'ai donné un lien, plusieurs fois, qui puis-je faire de plus.


http://lamfa.u-picardie.fr/chehab/Ens/cours_moindres_carres.pdf
http://team.inria.fr/opale/files/2011/11/Intro-AnalyseNumerique-2009.pdf
J'ai parcouru rapidement le premier, comme il est signé, je vais essayer de contacter son auteur.

Je crois me souvenir que le principe de l'indépendance des écarts m'a été appris en seconde par le prof de physique. Imaginons une observation avec 2 mesures. Chaque mesure est entachée d'un écart. Chacun des écart est propre à la mesure et ne dépend pas de l'écart éventuel de l'autre mesure.
Mathématiquement, c'est facile à montrer.
Mesure M1 = L1 + e1
Mesure M2 = L2 + e2.
Supposons que la valeur de l'observation soit la composition, notée 'o', des 2 mesures
O = M1.M2 = L1oL2 + e1.(qqch) + e2.(qqch) + e1oe2
Par hypothèse e1 et e2 sont des valeurs petites (que j'ai appelé volontairement infiniment petites)
Donc la composition e1oe2 est un infiniment petit de second ordre que l'on peut et que l'on doit négliger.
Une des manifestations connue de ceci est l'expression de la dérivée d'une fonction à plusieurs variables. On ne peut que calculer les dérivées partielle de la fonction par rapport à chacune des variables.

Enfin, voilà le résultat des paramètres du polynôme que j'ai trouvé.

0.0000553578 -0.0013417709 0.0788556939 1.5164572351 17.1804208178

Naturellement le nombre de décimales listées est sans signification, c'est juste pour le plaisir.
Si jamais quelqu'un te demande de lui expliquer, tu peux me l'envoyer, je lui expliquerai avec plaisir.

[Dlzlogic]

C'est vrai que ce n'est pas le sujet... mais tout de même, annoncer "LA bonne méthode" est aller vite en besogne. Encore une fois, tout dépend à quel jeu on veut jouer (ie des données, des contraintes imposées et du genre de résultat désiré).

Il est vrai que j'aurais dû dire "une bonne méthode", mais je n'ai pas écrit "LA".
Ce sujet a déjà été abordé par moi, je posais simplement la question "pourquoi on imagine des courbes plus compliquées que la parabole ?". Je n'ai pas vraiment eu de réponse.
Les données, une suite de points X,Y
Les contraintes, je ne sais pas, à part la proximité aux points
Le résultat, la courbe lissée, c'est à dire avec des interpolations crédibles.

[leon1789]

Ben oui, j'ai pas sorti ça de ma tête. Il y a une vingtaine de page, j'ai donné un lien, plusieurs fois, qui puis-je faire de plus.

Désolé, mais tu n'as pas donné de lien dans la discussion actuelle. :doh:

Je crois me souvenir que le principe de l'indépendance des écarts m'a été appris en seconde par le prof de physique. Imaginons une observation avec 2 mesures. Chaque mesure est entachée d'un écart. Chacun des écart est propre à la mesure et ne dépend pas de l'écart éventuel de l'autre mesure.

ok, ton prof de... physique.

Comment sait-on que le second écart est indépendant du premier ? On peut imaginer plein de situations où ce "principe d'indépendance des écarts observés" n'est pas valide : si l'outil qui sert à observer est défectueux, il peut majorer systématiquement les observations... ou minorer, ou autre chose... C'est souvent le cas avec les thermomètres par exemple : ils sont souvent toujours en dessous ou toujours au-dessus de la "vraie" température. Idem pour les compteurs de vitesse des voitures (volontairement en dessous de la vitesse réelle). Etc.

Et quel est la rapport avec les écarts étudiés dans la méthode des moindres carrés ? Qui dit que les sont les valeurs physiquement observées de LA fonction f que l'on donne à la fin du calcul ??

Mathématiquement, c'est facile à montrer.
Mesure M1 = L1 + e1
Mesure M2 = L2 + e2.
Supposons que la valeur de l'observation soit la composition, notée 'o', des 2 mesures
O = M1.M2 = L1oL2 + e1.(qqch) + e2.(qqch) + e1oe2
Par hypothèse e1 et e2 sont des valeurs petites (que j'ai appelé volontairement infiniment petites)
Donc la composition e1oe2 est un infiniment petit de second ordre que l'on peut et que l'on doit négliger.

Une des manifestations connue de ceci est l'expression de la dérivée d'une fonction à plusieurs variables. On ne peut que calculer les dérivées partielle de la fonction par rapport à chacune des variables.

Oui, si M1 et M2 sont entachées de "bruits", alors la composition M1.M2 l'est aussi. Mais je ne vois pas le rapport avec les dérivées partielles. Tu veux calculer des dérivées partielles en utilisant le bruit des observations ?

Enfin, voilà le résultat des paramètres du polynôme que j'ai trouvé.

Nous avons les mêmes, impec.

Naturellement le nombre de décimales listées est sans signification, c'est juste pour le plaisir.

oui, et comment as-tu fait ? Par quelle méthode ?

[leon1789]

Il est vrai que j'aurais dû dire "une bonne méthode", mais je n'ai pas écrit "LA".
Ce sujet a déjà été abordé par moi, je posais simplement la question "pourquoi on imagine des courbes plus compliquées que la parabole ?". Je n'ai pas vraiment eu de réponse.
Les données, une suite de points X,Y
Les contraintes, je ne sais pas, à part la proximité aux points
Le résultat, la courbe lissée, c'est à dire avec des interpolations crédibles.

Cela m'intéresse de lire les réponses qui ont été données. Où est-ce ?