Prolongement de zeta défini en 0

[Kronecker]

Bonsoir,
Je tiens à préciser que je suis en première année de prépa et donc que ma compréhension des maths est encore assez faible, merci d'avance pour votre indulgence...

D'après ce-que j'ai pu comprendre, la fonction zeta (celle de base) n'étant définie que pour les complexes dont la partie réelle est supérieure à 0.5, elle peut être prolongé.
Le prolongement dont j'aimerais parler ici est celui que l'on obtient par une équation fonctionnelle (avec les fonctions sinus et tau).
Selon moi ce prolongement n'est pas défini en 0 car la fonction zeta d'origine n'est pas définie en 1.
Pourtant, j'ai vu que l'on pouvait utiliser un calcul de limite, et je ne comprends pas en quoi on a le droit de le faire et de poser ça comme ça... Je me doute que c'est possible si le mathématiciens le font, mais je ne vois pas en quoi c'est rigoureux.
J'aimerais également savoir si un autre prolongement de zeta existe, mais cette fois-ci défini en 0 sans calcul de limite.

Merci d'avance !

[GaBuZoMeu]

La série de Riemann converge pour les complexes de partie réelle > 1 (et pas >1/2 comme tu l'as écrit).
Elle définit une fonction holomorphe sur le domaine Re(s) >1 qui se prolonge en une fonction holomorphe sur le plan complexe privé de 1.
L'équation fonctionnelle à laquelle tu fais allusion est celle qui exprime zeta(1-s) en fonction de zeta(s) à l'aide de sin et de la fonction Gamma (pas tau). Elle ne dit rien pour zeta(0).
Mais on montre effectivement que la fonction zeta prolongée (il faut savoir que le prolongement d'une fonction holomorphe, s'il existe, est unique) a une limite en 0. La fonction zeta n'a donc ni pôle ni singularité essentielle en 0, elle se prolonge bien en une fonction holomorphe en 0.

[QuadriviuumTremens]

En utilisant l'équation de reflexion de la fonction zêta, il faut forcément utiliser le résidu en 1 pour calculer l'image de 0. Après, il existe une autre définition de la fonction zêta, qui converge pour tous les nombres complexes avec une partie réelle strictement supérieure à 0. Mais la valeur en 0 s'obtient encore par une limite.