Probleme de Probas....

[Backstab]

Bonjour à toutes et à tous.
J'ai un petit souci avec un calcul de probabilité.
Passionné de poker, je me suis lancé dans plusieurs calculs dans le but de simplifier le calcul des côtes et des espérances de gain.
Je me trouve confronté à un problème qui me pause un gros souci avec des résultats totalement incohérent. Afin de comprendre mon erreur j'ai simplifier le problème à l'extrême et me suis en effet aperçu qu'une erreur subsistait, mais je ne parviens pas à la localiser !!!
Si vous pouviez m'apporter votre aide...
Je vous livre le problème et ma réflexion, si vous trouvez le hic, merci de me le montrer.

Le sujet sur lequel je travaille nécessite d'aborder le problème via l'événement contraire, c'est pourquoi je vous en parle dans mon exemple simplifié, et vous verrez qu'il ya comme un souci....

Je dispose d'un jeu de 12 cartes : 4 As, 4 Rois et 4 Dames (4 couleur trèfle, carreau, pique et coeur). Il y a 4 joueurs en tout, moi compris, et on distribue 2 cartes à chacun.
Imaginons que j'ai une paire d'As.

Je vais calculer la probabilité qu'un autre joueur ait également une paire d'as (les deux qui restent).

Je vais commencer par dénombrer le nombre de cas possibles, à savoir le nombre de combinaisons différentes que les trois autres joueurs peuvent obtenir.
Je vais noter C(4;2) le nombre de combinaisons que l'on peut former avec un nombre donné d'éléments (C(4;2) correspond donc au nombre de manière de ranger 4 objets dans un tiroir pouvant en contenir 2).

Pour nos trois joueurs, ils leur restent 10 cartes à se partager, donc :
C(10;2) x C(8;2) x C(6;2) = 18900 combinaisons possibles.
Ce résultat part du principe que chaque joueur est différent et nous pourrons donc retrouver des combinaisons 3 x 2 cartes identiques mais attribuées à des joueurs différents. Pour éviter cette répétition il faut diviser le résultat par factoriel(le nombre de joueur). Je ne le ferais pas car cela ne changera rien au résultat final des probabilités que de considérer que les joueurs sont différents ou pas (à partir du moment qu'on garde la même ligne de conduite jusqu'au bout, les fameux factoriels se simplifient).

Je vais à présent dénombrer le nombre de combinaisons favorables à mon évènement : un autre joueur possède une paire d'As dans sa main (et les deux autres se partagerons les 8 cartes restantes)
C(2;2) x C(8;2) X C(6;2) = 420 combinaisons favorables.

On obtient alors une probabilité de 420 / 18900 = 1 chance sur 45.

Bien, maintenant je vais prendre le problème à l'envers et tenter de le résoudre en calculant la probabilité d'obtenir l'évènement contraire (histoire de voir si je ne me suis pas trompé). L'évènement contraire est : aucun joueur n'a de paire d'As en main.
Les différents cas de figures que nous pourrons rencontrer sont :
1) Aucun joueur ne possède d'As
2) Un joueur possède 1 As
3) Deux joueurs possède chacun un As.

En dénombrant tous les cas favorables aux trois situations précédentes et en y ajoutant le cas d'un joueur possédant deux as calculé avant (420), j'aurais survoler tous les cas possibles et doit donc retomber sur un total de 18900 combinaisons.

On obtient alors les résultats suivants :

1) 0 as : C(8;2) x C(6;2) x C(4;2) = 2520 combinaisons.
2) 1 as : C(2;1) x C(8;1) X C(7;2) x C(5;2) = 3360 combinaisons.
3) 2 as répartis : C(2;1) x C(8;1) x C(1;1) x C(7;1) x C(6;2) = 1680 combinaisons.

Ce qui nous fait un total de 2520 + 3360 + 1680 = 7560.

Si j'ajoute à ce résultat les 420 combinaisons correspondant à l'événement un joueur possède 2 as, cela fait 7560 + 420 =7980 ?!?....

Je devrais normalement obtenir le nombre de combinaisons possibles, à savoir 18900 puisque les 4 événements réunis en font un événement certain....

Merci à tous.

[Finrod]

Le crois que tu as juste oublier le nombre de joueur.

Le nombre de combinaisons ou un autre joueur a un as, par exemple est égale à trois fois ce que tu as donné car il y a trois joueur qui peuvent potentiellement tirer l'as...

même problème pour le cas "un autre joueur à 2as".