Petit problème probas et thermo

[L.A.]

Bonjour à tou.te.s

m et n sont deux entiers naturels fixés.
On considère une urne contenant m boules numérotées de 1 à m. On effectue n tirages successifs avec remise et on note le nombre de fois où la boule numéro i a été obtenue.
On obtient un m-uplet tel que .
On range ensuite les dans l'ordre décroissant et on obtient un m-uplet .
Ainsi .

Questions : quelle est la loi de la variable aléatoire (vectorielle discrète) ?
Quelles sont les éléments de qui ont la probabilité la plus grande ?

Pour la première question, j'ai fait un petit dénombrement et je trouve :

pour tout avec .

Petit exemple pour n=3 boules et m=3 tirages, on a .
En listant toutes les configurations dans un arbre on vérifie que :
(tirer la même boule 3 fois)
(tirer deux boules différentes dont une 2 fois)
(tirer trois boules différentes)

Pour la seconde question, je n'ai pas de réponse complète mais j'ai quelques pistes intéressantes.
Je voudrais minimiser la quantité :
où les sont des entiers naturels vérifiant et .
En effet on peut écrire .

Pour cela, je me suis inspiré de la thermodynamique : je vois mon problème comme un système de m particules d'énergie totale n, où représente le nombre de particules qui occupent le niveau d'énergie j, et 1/D correspond à l'entropie du système. Pour minimiser D, il faut que les particules occupent des niveaux j pas trop élevés, mais qu'un niveau donné ne soit pas occupé par trop de particules.

Considérons une distribution quelconque.
Disons que R est stable si elle réalise le minimum de à m,n fixés.
Supposons qu'une particule de niveau échange une unité d'énergie avec une particule de niveau .
Cela signifie que et diminuent de 1 tandis que et augmentent de 1.
Disons que R est localement stable si cet échange fait croître pour tous choix d'indices .

J'ai rédigé un programme en Python qui teste si une distribution est localement stable, et qui renvoie une paire d'indices pour lesquels l'échange fait décroître D sinon :

Code: Tout sélectionner

def test_lstable(R):
   res=True
   jmax = len(R)-1
   j1=jmax+1
   while res and (j1>1):
      j1-=1
      j2=-1
      while res and (j2<jmax-1):
         j2+=1
         if j1==j2:
            Daugm = (R[j1-1]+1)*(R[j1+1]+1)*(j1+1)>=R[j1]*(R[j1]-1)*j1
         elif j1-1==j2+1:
            Daugm = (R[j1-1]+1)*(R[j1-1]+2)*(j1-1)>=R[j1]*R[j2]*j1
         else:
            Daugm = (R[j1-1]+1)*(R[j2+1]+1)*(j2+1)>=R[j1]*R[j2]*j1            
         res = Daugm
   return (res,j1,j2)


Il faut traiter à part les cas où les niveaux de départ sont égaux ou les niveaux d'arrivée sont égaux.

EDIT : quelques explications sur ce point...
Soit et des indices tels que sont distincts.
On pose tels que

et pour les autres indices.
Alors
Si R est localement stable alors la fraction ci dessus est supérieure ou égale à 1 ce qui s'écrit

"R localement stable" est donc une conjonction de conditions de ce type pour chaque paire d'indices .

J'itère ensuite à partir d'un état donné quelconque jusqu'à aboutir à un état localement stable (qui est sans doute stable tout court, mais je n'ai aucun moyen de le prouver).
Par exemple pour n=1000 et m=400, j'obtiens R=[31, 81, 104, 87, 55, 27, 11, 3, 1,0] (i.e. ).

En testant divers paramètres n, m, je constate que mon analogie avec la thermodynamique n'est pas dénuée de sens puisque les états localement stables ont des allures de distribution de Maxwell-Boltzmann, plutôt de loi de Poisson en fait. (EDIT : image en lien ci dessous)

https://1drv.ms/u/s!AuibTdDx9Xe-qSLL4-3_0o0U8jXJ

https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Poisson

Mon objectif maintenant serait de trouver une expression exacte ou approchée pour les de la forme par exemple (cette forme-ci semble convenir assez bien dans certains cas).

Je me suis intéressé à l'ensemble micro-canonique en physique statistique, mais j'ai du mal à définir rigoureusement ce qui serait l'entropie S ou la température dans ma situation discrète.
En théorie serait en .
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_microcanonique#%C3%89quilibre_thermique:_temp%C3%A9rature_microcanonique

Voilà, merci de m'avoir lu, j'espère que mon petit problème vous aura intéressé.e.s.
Il m'a été inspiré par les magnets département à collectionner dans les boites de nuggets : pour info j'ai environ n=200 magnets actuellement pour m=95 départements et ma distribution correspond assez bien à un état localement stable.
J'ai donc voulu fouiller la question, je crois hélas avoir atteint mes limites en physique statistique...
Je ne sais pas s'il existe déjà des résultats à ce sujet, le problème est assez simple à formuler donc je suppose que oui.

[Doraki]

Si R est localement stable alors
En mettant les j1 d'un côté et les j2 de l'autre, on obtient


Soient ,
de sorte que et que la condition devienne

La différence entre fL,f, et fS étant petite (juste un 1 qui change à côté d'une valeur de rj) par rapport à f, les solutions localement stables vont avoir un f(j) à peu près constant lorsque j varie.

Regardons ce qui se passe si on a une solution idéale vérifiant f(j) = K pour tout j.
Alors K = f(1) = r0/r1 donc r1 = r0/K
K = f(2) = r1/(2r2) donc r2 = r1/(2K) = r0/2K²
et ainsi de suite, rj = r0/(j! K^j).

Les contraintes donnent
m = somme des rj = r0 exp(1/K),
et
n = somme des j rj = (r0/K) exp(1/K) = m/K

Donc K = m/n, r0 = m exp(-n/m), et donc
rj = m exp(-n/m) (n/m)^j / j!
Donc effectivement, une loi de Poisson !

Pour n=1000 et m=400 on obtient
R = [32.83, 82.08, 102.61, 85.51, 53.44, 26.72, 11.13, 3.98, 1.24, 0.35, 0.09, 0.02 ...]
ce qui m'a l'air de coller plutôt bien

[L.A.]

Merci Doraki pour ta réponse.

J'ai fait quelques tests avec pour diverses valeurs de n,m et en effet cela colle très bien à chaque fois.

Il faudrait essayer voir en remplaçant par dans ou dans puis en différenciant (avec les extrema liés), si on ne retrouve pas par hasard ta solution "idéale" (Poisson)... j'ai pas trop le courage cela dit.

La différence entre fL,f, et fS étant petite (juste un 1 qui change à côté d'une valeur de rj) par rapport à f, les solutions localement stables vont avoir un f(j) à peu près constant lorsque j varie.

Peux-tu détailler un peu ce point ? comment est-ce que tu déduis que f(j) est constant ?

[Doraki]

Il faudrait essayer voir en remplaçant par dans ou dans puis en différenciant (avec les extrema liés), si on ne retrouve pas par hasard ta solution "idéale" (Poisson)... j'ai pas trop le courage cela dit.

Je ne pense pas qu'on retombe sur la même chose. Nos calculs étaient basés sur ce qu'il se passe quand on décale deux rj de 1. Si on rend le problème continu, c'est décaler des rj de epsilon qu'il faut regarder et ça devrait être un peu différent.
Et puis là je sais pas trop comment inverser la fonction polylogarithme rapidement alors j'ai pas regardé.

Peux-tu détailler un peu ce point ? comment est-ce que tu déduis que f(j) est constant ?

Les erreurs relatives de fS et fL comparées à f sont de l'ordre de 1/rj ou 1/r(j-1).
Si on écrit f(j1) + erreur1 = fL(j1) > fS(j2) = f(j2) - erreur2
on obtient f(j2) - f(j1) < erreur1 + erreur2 et donc |f(j2) - f(j1)| est à peu près borné par f(j2)/r(j2) + f(j1)/r(j1-1)
et f(j2)/r(j2-1) + f(j1)/r(j1)
Si les valeurs de r en question sont grandes, les écarts sont donc assez serrés.

[L.A.]

Est-ce qu'on pourrait prouver (par je ne sais quel théorème de convexité) que le continuifié possède un minimum unique sur l'enveloppe convexe de l'ensemble des états accessibles ?
c'est-à-dire l'ensemble

Ca ne doit pas être très compliqué vu que est une somme de fonctions convexes en chaque , on travaille dans un compact et on évite prudemment le côté "dimension infinie" un peu pénible de la solution loi de Poisson, et on n'a plus qu'à chercher parmi les points du réseau proches du minimum "absolu".

A noter que pour de petites valeurs de n,m les états stables ne sont pas forcément uniques :
par exemple R1 = (4,3,2,1,0,...,0) et R2 = (3,4,3,0,...,0) réalisent le minimum de D(R) = 6912 pour n=m=10.