Problème ardu

[brigite]

n un entier impair non divisible par 3
montrer que la somme : 2^(n-2) + 2^(n-4) +.........+1 n'est pas divisible par n.
la somme 2^(n-2) + 2^(n-4) +.........+1 signifie 2 à la puissance n-2 plus 2 à la puissance n-4 etc ..
merci d'avance mes amis

[bolza]

Bonjour,

déjà il y a un problème dans l'énoncé :
Si n est impair, alors n-2 est impair, n-4 est impair, etc

donc si les trois petit points signifie bien ce que je pense, la somme serait plutôt 2^(n-2) + 2^(n-4) + ... + 2
(on fait la somme des puissance impair de 2, et 1 = 2^0 c'est donc une puissance paire de 2)

Si c'est bien ça l'énoncé, intuitivement je regarderai ce que donne ici la formule de la somme des suites géométrique.
(car ici on a une suite géométrique de raison 4). Mais je n'ai pas poussé plus loin ma réflexion

Edit : Et le "n-2" doit sous entendre que n > 2 je pense ^^

Edit2: oui bon ce n'est peut-être pas la manière la plus simple, mais on peut effectivement y arriver en regardant la formule de la suite géométrique..., mais pas que...

[nodjim]

A part le "+1" qui est suspect, il suffit d'ajouter les puissances manquantes pour retrouver une série très connue.

[brigite]

A part le "+1" qui est suspect, il suffit d'ajouter les puissances manquantes pour retrouver une série très connue.

il n'y pas d'erreur, la série prend fin en 2 et on ajoute le chiffre 1 .

[bolza]

D'accord, mais finalement ça ne change rien, tu as la somme d'une série géométrique + 1,
(dont tu peux trouver la somme soit en utilisant la formule, soit en utilisant l'astuce proposer par nodjim)

et n ne divise ni (2^(n-2)+2^(n-4)+....+2), ni (2^(n-2)+2^(n-4)+....+2) + 1 (si je n'ai pas fait d'erreur de calcul ^^)

[brigite]

D'accord, mais finalement ça ne change rien, tu as la somme d'une série géométrique + 1,
(dont tu peux trouver la somme soit en utilisant la formule, soit en utilisant l'astuce proposer par nodjim)

et n ne divise ni (2^(n-2)+2^(n-4)+....+2), ni (2^(n-2)+2^(n-4)+....+2) + 1 (si je n'ai pas fait d'erreur de calcul ^^)

mais comment sais tu que n ne divise pas (2^(n-2)+2^(n-4)+....+2) + 1 ? il faut la démontrer . merci

[bolza]

Bah, déjà tu as regardé ce que donnait la somme (2^(n-2)+2^(n-4)+...+2) ??

C'est déjà un début de piste, en suivant cette piste tu arrives à quoi ?, où est-ce que tu bloques ?


Edit : Pardon, je viens de revoir ma preuve :triste: , j'ai fait n'importe quoi à la fin :mur: ,
en fait je n'ai qu'une preuve que dans le cas où n est premier.

[zygomatique]

salut

n est un entier impair non multiple de 3 ...

:hein:

et je ne vois pas pourquoi n diviserait ou non ce nombre ...


remarque un entier impair non multiple de 3 est de la forme ....

[nodjim]

Testons avec les premiers n impairs, en notant qu'un 2^n=-1 mod 3 si n impair:
n=5: 2^3+2^1+1=(-1)+(-1)+1=-1 mod 3
en incrémentant, on ajoute un (-1)
donc:
n=7---->-2
n=9---->-3=0
n=11--->-1
n=13--->-2
n=15--->-3=0
etc..
Pour tout n impair non multiple de 3, l'expression n'est pas divisible pa

[bolza]

oui zygomatique,

mis à part que tu as oublié un "+2" dans ton expression de départ, on trouve la même chose (à deux près ^^),
bien que la formule puisse être simplifiée en utilisant le fait que pour tout k pair,
et que 8=2³ et comme n est premier avec 3, on peut multiplier par 3 pour se débarrasser de la division par 3.

Bref on en arrive à vouloir montrer que n ne divise pas (si je n'ai pas fais d'erreurs de calcul)

Si n est premier, on peut s'en sortir avec le petit théorème de Fermat, sinon ... :hein:

P.S. : c'est vrai aussi pour les n qui se terminent par un 5 ^^

Edit: et c'est vrai aussi si n est une puissance d'un nombre premier.

Edit2: en fait oui, c'est bon :ptdr: on doit pouvoir montrer aussi si n est produit de deux nombre premier, et avec ça conclure

[bolza]

Je crois que je me suis encore embrouiller :mur: , le "Edit2" de mon poste précédent est un peu hâtif.
Je ne vois pas de raison, pour l'instant, pour lesquelles ce serait vrai pour n étant le produit
de deux nombres premier :/

(par contre pour les n premier, puissance de nombre premier, ou se terminant par 5, ça c'est ok ^^)
mais bon, il en manque encore plein ^^'

Du coup le problème reste encore ouvert ^^
(mais bon je pense que dans l'idée on doit probablement pouvoir y arriver par ce chemin là :happy2: )