Probabilités et métro

[Science]

Bonjour, récemment je me posais une question de probabilités mais n'ayant plus fait de probabilités depuis 2 ans j'ai un peu du mal à avancer.

Voici le problème : je suis sur une ligne de métro, je prends le métro à une station de départ donné et je m'arrête n stations plus loin, la station où je m'arrête est la dernière de la ligne. Au départ il y a D autres personnes à part moi dans le train. Quelle est la probabilité pour qu'au moins 1 personne à moi s'arrête à la même station que moi.

Voici les limitations que j'ai donné : 1) Il n'y a aucun retard et pas de stations plus fréquentées que les autres.
2) A chaque arrêt il n'y a que des descentes et pas de montée (oui je sais mon modèle n'est pas très réaliste) et que à chaque arrête au moins 1 personne descent
3)On suppose que le train est constitué d'un seul grand wagon.

Je suis parti de l'idée que cette probabilité c'est 1 moins la probabilité qu'aucune personne ne s'arrête à la même station que moi, mais après j'avance pas.

Merci d'avance pour votre aide

Cordialement

Science

[fatal_error]

salut,

si y a pas de stations plus fréquentées que les autres, je comprends que la descente est équiprobable pour chaque station.

On note p la proba de descendre
La proba qu'une personne fasse toute la ligne :
P(ligne) = (1-p)^n
et donc qu'elle descende avant : P(descente) = 1-P(ligne) = 1 - (1-p)^n

La proba qu'au moins une personne descende avec toi, c'est le contraire de aucune ne descende avec toi donc
P(une) = 1 - P(aucune)
P(une) = 1 - (P(descente))^D = 1 - (1 - (1-p)^n)^D

Enfin, je pense

[Science]

salut,

si y a pas de stations plus fréquentées que les autres, je comprends que la descente est équiprobable pour chaque station.

On note p la proba de descendre
La proba qu'une personne fasse toute la ligne :
P(ligne) = (1-p)^n
et donc qu'elle descende avant : P(descente) = 1-P(ligne) = 1 - (1-p)^n

La proba qu'au moins une personne descende avec toi, c'est le contraire de aucune ne descende avec toi donc
P(une) = 1 - P(aucune)
P(une) = 1 - (P(descente))^D = 1 - (1 - (1-p)^n)^D

Enfin, je pense

Ok, je comprends ton raisonnement mais est-ce que on aurait pu faire ca avec des factorielles? Du genre pour la 1ère station k personnes descendent parmi d, ensuite i personnes descendent parmi d-k,etc? J'ai essayé de faire comme ca mais j'arrive pas à trouver le nombre d'évènements possibles.

J'ai mis ton programme sous pascal pour faire des simulations et quelque chose m'étonne : j'ai pris la ligne 4 où y'a 25 stations celle de départ exclu, donc la probabilité pour s'arrêter à une station donnée est de 1/25. Or j'ai simulé que quand y'avait 3 personnes moi inclus la probabilité pour qu'au moins 1 personne descende à la même station que moi dépasse déjà 0.5 c'est normal ca?

[fatal_error]

donc la probabilité pour s'arrêter à une station donnée est de 1/25

ca c'est faux.
imagine t'as trois stations :
a la premiere tu as p chance de sortir.
A la seconde tu as p chance de sortir.
A la troisieme tu as p chance de sortir.
Mais la proba de sortir a la seconde en regardant le trajet c'est : (1-p)p, et la proba de sortir a la troisieme c'est (1-p)^2p

Or j'ai simulé que quand y'avait 3 personnes moi inclus la probabilité pour qu'au moins 1 personne descende à la même station que moi dépasse déjà 0.5

Ici, ca depend la proba que t'as de sortir a un arret (sans tenir compte des autres arrets). Genre tu as ptet une chance sur 2, ou bien une chance sur 3 c'est comme si tu lances un dé.

[fatal_error]

re,

alors en fait, la proba de descendre à la station n°3, elle vaut pas forcément 1/25.
Quand jdis equiprobable, jveux dire que quelquesoit la station ou tu tentes ta chance, t'as la même proba de sortir.

Typiquement, tu lances un dé et si tu tombes sur le chiffre 5, tu te dis "tiens, je sors ici". La proba de sortir pour le coup ca peut etre 1/6 par exemple.

Quand on dit sortir a la station n°x, ca veut dire qu'on est pas sorti les stations d'avant. La proba de sortir à n°x, c'est donc (1-p)^{x-1}p avec p qui est indépendant du nombre de stations.

Apres pour la simu moi j'ai ca

Code: Tout sélectionner

clear;
nbInitPersonnes = 3;
nbStations = 25;
nbSimu = 1000;
success(1:nbSimu) = 0;
pDescente = 0.1;
for indSimu = 1 : nbSimu
   nbPersonnes = nbInitPersonnes;
   %simule le nombre de personnes qu'il y a a la fin
   for i=1:nbStations
      nbDescentes = 0;
      for j=1:nbPersonnes
         descente = rand(1);
         if descente  0)
      success(indSimu) = 1;
   else
      success(indSimu) = 0;
   end
end
probaSuccesTest=sum(success)/length(success)
%descendre avant la fin : contraire de descendre a la fin
descenteAvantFin = 1 -  (1-pDescente)^nbStations;
probaSuccesTh = 1 - (descenteAvantFin)^nbInitPersonnes


Et globablement on trouve a peu pres la même chose.

[Science]

OK c'est du Pascal ou du C?
ET donc P(ligne)=(1-p)^(n-1)*p?

[fatal_error]

c'est du matlab

P(ligne)=(1-p)^(n-1)*p?

bonne remarque :
les n-1 stations on tente (1-p), et la derniere on tente rien, parce que c'est le terminus, alors on descend un point c'est tout!

[Science]

Re, pourquoi tu remultiplies par p à la fin?

[fatal_error]

bad habits...