Primitive fraction cosinus

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paindemmie
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Primitive fraction cosinus

par paindemmie » 23 Aoû 2020, 16:55

Bonjour!

Je cherche la primitive de 1/(2+cos(x)) sur l'intervalle ]-pi,pi[

J'ai essayé de faire un changement de variable en posant u=cos(x) mais cela ne semble pas aboutir



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chadok
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Re: Primitive fraction cosinus

par chadok » 23 Aoû 2020, 22:35

Bonjour,
En dépannage express, réponse "brute de fonderie" en passant par wolframalpha :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%282%2Bcos%28x%29%29

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Sa Majesté
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Re: Primitive fraction cosinus

par Sa Majesté » 24 Aoû 2020, 00:17

Salut,

En fait la fonction est continue sur IR mais les primitives proposées par Wolfram ne le sont pas.
Une primitive continue sur IR est de la forme

Je n'ai rien inventé, j'ai juste un pdf sur le sujet si ça t'intéresse.

Black Jack
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Re: Primitive fraction cosinus

par Black Jack » 24 Aoû 2020, 10:57

Bonjour,

dx/(2+cos(x))

Poser tan(x/2) = t
--> cos(x) = (1-t²)/(1+t²)
et dx = 1/(1+t²) dt

dx/(2+cos(x)) = 1/[(1 + t²).(2 + (1-t²)/(1+t²)) dt
= 3/(3+t²) dt

Poser t = V3 * u
dt = V3 du

dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * du/(1+u²)

S dx/(2+cos(x)) = S 2/V3 * du/(1+u²) = 2/V3 * arctan(u) = 1/V3 * arctan(t/V3) = 2/V3 * (arctan(tan(x/2)/V3)

S dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * (arctan(tan(x/2)/V3)

S(de-Pi à Pi) dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * [arctan(tan(x/2)/V3](de-Pi à Pi)

S(de-Pi à Pi) dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * (Pi/2 - (-Pi/2)) = 2.Pi/V3



8-)

Black Jack
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Re: Primitive fraction cosinus

par Black Jack » 25 Aoû 2020, 10:03

Dans ma réponse précdente, je corrige ... pour parenthèse manquante.

S dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * (arctan(tan(x/2)/V3))

S(de-Pi à Pi) dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * [arctan(tan(x/2)/V3)](de-Pi à Pi)

S(de-Pi à Pi) dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * (Pi/2 - (-Pi/2)) = 2.Pi/V3

8-)

 

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