Produit de cosinus

[evilangelium]

Bonjour

Une formule qui me semble vraie et intéressante mais que je n'ai vu dans aucun recueil trigonométrique



Je ne vous demande pas si elle est utile (..), mais pourquoi elle est ainsi.

Pourquoi un produit de nombres réels "remarquables", les cosinus des racines n-ièmes comprises entre 0 et pi/2, donne-t-il un rationnel "remarquable" lié si simplement à ce produit ?

Autre problème intéressant, la démonstration de cette formule par récurrence...

Bonne journée

[Alpha]

Salut, evilangelium!

Il me semble assez difficile de démontrer ce résultat à l'aide du principe de récurrence, mais j'ai réussi à le démontrer (sans récurrence).

Je t'expose seulement la méthode générale, si jamais ça ne te permet pas de démontrer le résultat, dis-le moi, je détaillerai plus (demain peut-être).

Je me suis d'abord servi du fait que sin (2x) = 2sin(x)cos(x),
d'où je tire une expression de cos(x) qui me sera très utile par la suite. Grâce à cette remarque, le produit devient 1/2^n multiplié par un produit de quotients de sinus, dont il faut donc montrer qu'il vaut 1.

Pour ce faire, je distingue 2 cas : n pair ou n impair. Dans les 2 cas, certains termes se simplifient, mais d'autres restent, il faut alors utiliser le fait que sin(x) = sin (pi-x), et l'on montre que le dénominateur et le numérateur du produit précédemment cité sont égaux entre eux, donc on a montré que le produit de l'énoncé vaut 1/2^n.

[Chimerade]

Il me semble assez difficile de démontrer ce résultat à l'aide du principe de récurrence, mais j'ai réussi à le démontrer (sans récurrence).

Ben, moi aussi. Mais ma méthode est différente.

En voici les grandes lignes :

Je dis que exp(i j pi/(2n+1)) pour j=0 à 2n sont les (2n+1) solutions de x^(2n+1)=1. En remplaçant x par a+ib (a,b réels), je tombe sur deux équations dont la première ne contient que a. C'est une équation du (2n+1)-ième degré dont les solutions sont cos(j pi/(2n+1)), j=0 à 2n. Si j'appelle A le coefficient du terme de degré (2n+1) et B le coefficient constant, je dis que le produit des racines (donc des cosinus) est
(B)/A*(-1)^(2n+1), soit -B/A.
Il suffit d'évaluer A et B qui sont faciles à calculer : A=2^(2n) et B=-1 :
donc B/A=2^(-2n) et le produit des racines donc des cosinus est 2^(-2n).

Enfin, je dis que les cos(j pi/(2n+1)), j=1 à 2n, sont les n nombres cos(j pi/(2n+1)) j=1 à n, chacun pris deux fois (pas dans l'ordre !). Par conséquent le produit des cos(j pi/(2n+1)) j=1 à n est égal à
[2^(-2n)]^1/2
soit 2^(-n). Le produit demandé (des cos(j pi/(2n+1)) j=0 à n) lui est égal puisqu'il n'en diffère que par le facteur cos(0)=1.

Pour ce qui est de la solution par récurrence, c'est dur, mais je ne perd pas (encore) espoir.

Désolé pour les formules : je n'ai pas encore appris TEX, mais ça viendra.