Primitive fraction cosinus

[paindemmie]

Bonjour!

Je cherche la primitive de 1/(2+cos(x)) sur l'intervalle ]-pi,pi[

J'ai essayé de faire un changement de variable en posant u=cos(x) mais cela ne semble pas aboutir

[chadok]

Bonjour,
En dépannage express, réponse "brute de fonderie" en passant par wolframalpha :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%282%2Bcos%28x%29%29

[Sa Majesté]

Salut,

En fait la fonction est continue sur IR mais les primitives proposées par Wolfram ne le sont pas.
Une primitive continue sur IR est de la forme

Je n'ai rien inventé, j'ai juste un pdf sur le sujet si ça t'intéresse.

[Black Jack]

Bonjour,

dx/(2+cos(x))

Poser tan(x/2) = t
--> cos(x) = (1-t²)/(1+t²)
et dx = 1/(1+t²) dt

dx/(2+cos(x)) = 1/[(1 + t²).(2 + (1-t²)/(1+t²)) dt
= 3/(3+t²) dt

Poser t = V3 * u
dt = V3 du

dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * du/(1+u²)

S dx/(2+cos(x)) = S 2/V3 * du/(1+u²) = 2/V3 * arctan(u) = 1/V3 * arctan(t/V3) = 2/V3 * (arctan(tan(x/2)/V3)

S dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * (arctan(tan(x/2)/V3)

S(de-Pi à Pi) dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * [arctan(tan(x/2)/V3](de-Pi à Pi)

S(de-Pi à Pi) dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * (Pi/2 - (-Pi/2)) = 2.Pi/V3

[Black Jack]

Dans ma réponse précdente, je corrige ... pour parenthèse manquante.

S dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * (arctan(tan(x/2)/V3))

S(de-Pi à Pi) dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * [arctan(tan(x/2)/V3)](de-Pi à Pi)

S(de-Pi à Pi) dx/(2+cos(x)) = 2/V3 * (Pi/2 - (-Pi/2)) = 2.Pi/V3