Polyedres et convexité

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laquestion
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polyedres et convexité

par laquestion » 23 Nov 2009, 20:19

bonjour,
je me pose des questions sur les polyedres
1) j'appelle polyedre pseudo regulier (ppr) un polyedre dont les faces sont isometriques.
existe t il une suite de ppr convexes qui tendent vers une sphere
2) existe t il des polyedres (resp. des ppr) avec que des faces non convexes.



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nuage
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par nuage » 23 Nov 2009, 20:55

Salut,
1)Je ne crois pas qu'il existe de suite de polyèdres ppr qui tendent vers une sphère. Pour autant que je sache il n'y a que deux suites infinies de ppr (à faces convexes) : les duaux de prismes et d'anti-prismes

2) Il existe des polygones réguliers dont toutes les faces sont des étoiles à 5 branches.

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par laquestion » 23 Nov 2009, 22:19

Merci! et à ton avis il y aurait un nombre fini de ppr qui ne soit pas des cones de polygones ou des duaux de cones ?...

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nuage
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par nuage » 23 Nov 2009, 23:25

Je ne sais pas exactement ce que tu entends par >
Ce qui est certain :

il y a une suite infinie de polyèdres ppr à faces triangulaires : les duaux de prismes

il y a une suite infinie de polyèdres ppr à faces > (quadrilatères convexes avec un axe de symétrie ) : les duaux d'anti-prismes.
Tu peux regarder des dés à dix faces dans une boutique de jeux pour un exemple.

Si on enlève les groupes associées à ces deux suites il ne reste plus qu'un nombre fini de groupes discrets d'isométrie de la sphère (trois si mes souvenirs sont bons).
Ce qui limite à 180 Faux : 120 (dual du solide d'Archimède avec 12 faces décagonales, 20 hexagonales et 30 carrées) le nombre de faces d'un solide ppr n'appartenant pas à une des séries précédentes.

Le tout sauf erreur de ma part.

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par laquestion » 24 Nov 2009, 01:48

nuage a écrit:Je ne sais pas exactement ce que tu entends par >
Ce qui est certain :

il y a une suite infinie de polyèdres ppr à faces triangulaires : les duaux de prismes

il y a une suite infinie de polyèdres ppr à faces > (quadrilatères convexes avec un axe de symétrie ) : les duaux d'anti-prismes.
Tu peux regarder des dés à dix faces dans une boutique de jeux pour un exemple.

Si on enlève les groupes associées à ces deux suites il ne reste plus qu'un nombre fini de groupes discrets d'isométrie de la sphère (trois si mes souvenirs sont bons).
Ce qui limite à 180 (dual du solide d'Archimède avec 12 faces décagonales, 20 hexagonales et 30 carrées) le nombre de faces d'un solide ppr n'appartenant pas à une des séries précédentes.

Le tout sauf erreur de ma part.


ça c'est precis !
l'eveloppe convexe d'un polygone regulier union un point c'est ça que j'appelais un cone. c'est ça un prisme peut etre ?

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nuage
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par nuage » 25 Nov 2009, 19:57

J'ai fait une faute de frappe : le dual du solide dont je parle à 120 faces triangulaires.

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nuage
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par nuage » 25 Nov 2009, 20:05

laquestion a écrit:ça c'est precis !
l'eveloppe convexe d'un polygone regulier union un point c'est ça que j'appelais un cone. c'est ça un prisme peut etre ?

Si tu colles deux objet de ce type, en choisissant bien le sommet tu as le dual d'un prisme régulier et donc un ppr à 2n faces inscrit dans une sphère.
Mais ce type d'objet n'est pas une bonne approximation d'une sphère.

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par laquestion » 25 Nov 2009, 20:12

nuage a écrit:Si tu colles deux objet de ce type, en choisissant bien le sommet tu as le dual d'un prisme régulier et donc un ppr à 2n faces inscrit dans une sphère.
Mais ce type d'objet n'est pas une bonne approximation d'une sphère.

en fait on peut approximer une sphere avec des ppr que si il ne sont pas convexes si j'ai bien compris...

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nuage
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par nuage » 25 Nov 2009, 22:28

laquestion a écrit:en fait on peut approximer une sphere avec des ppr que si il ne sont pas convexes si j'ai bien compris...

Je dirais que l'on ne peut pas approcher la sphère par des ppr.
Un polyèdre approximant une sphère avec une précision suffisante a au moins deux types de faces non isométriques. par exemple 12 pentagones et des hexagones.

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par laquestion » 27 Nov 2009, 01:44

nuage a écrit:Je dirais que l'on ne peut pas approcher la sphère par des ppr.
Un polyèdre approximant une sphère avec une précision suffisante a au moins deux types de faces non isométriques. par exemple 12 pentagones et des hexagones.

c'est drole j'avais cru trouver un exemple de suite de ppr non convexe qui approchait la sphere (meme deux exemples) je vais m'y repencher (dans un des exemple je construisais des faces isometriques au rang n à partir d'autres au rang n-1). je reverrais tout ça demain:)

 

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