Tore polyèdres et pavages

[GaBuZoMeu]

Hum, ton décompte de la caractéristique d'Euler est un peu bizarre.
Je vois plutôt : carreaux, donc arêtes (chaque carreau a quatre côté et chaque arête est le côté de deux carreaux) et 1 seul sommet (on s'arrange pour), la caractéristique d'Euler fait bien .
Et le secteur angulaire autour de la singularité, c'est la somme des angles droits de tous les carreaux donc , en excès de donc une courbure totale de .

[Kekia]

Tu as raison, même si c'est correct, je me suis compliquée la vie en faisant des distinctions entre les carreaux de la sphère et les carreaux des anses mais en fait peu importe.

[GaBuZoMeu]

Pour varier, changeons des petits carreaux pour d'autres polygones réguliers.
On identifie par translation les côtés opposés. Qu'est-ce qu'on obtient ?

[Kekia]

J'ai supposé que tous les sommets sont noirs (les 2 du bas sont bleus sur le dessin). Je n'arrive pas à donner de sens à fusionner une arrête sans fusionner les sommets correspondants donc je suis bien embêtée sinon.

A cette condition, je dirai qu'un polygone à 4n cotés correspond à un tore à n trous, en tout cas, c'est ce que me laisse croire la caractéristique d'Euler mais sans surprise je ne visualise pas du tout comment replier la figure (sauf pour le cas n=1).
En fait, je vois mieux ce qui se passe en partitionnant les arrêtes par groupe de 4 voisines et en alternant 2 couleurs différentes dans chaque groupe. Le fait d'aller chercher l’arrête diamétralement opposée m'embrouille au point que je ne vois même pas pourquoi on obtiendra la même surface.

Mais alors pour l'hexagone de caractéristique d'Euler -1, du peu que j'ai lu et compris, ce n'est pas supposée être possible d'avoir un nombre impair pour une surface compacte connexe orientable sans bord donc mystère...
En cherchant à nouveau, j'ai bien trouvé la surface de Dyck https://mathcurve.com/surfaces/dyck/dyck.shtml qui a la bonne caractéristique, elle me semble effectivement non orientable mais je ne vois pas comment ça pourrait correspondre puisqu'ils la représentent par un octogone avec 2 sommets.
Mais bon, comme je n'ai pas trouvé mieux, il y a peut-être moyen d'obtenir n'importe quelle caractéristique d'Euler de la forme 1-2n en faisant une somme de 2n+1 plans projectifs ce qui est supposée donner une sphère avec 2n+1 bonnets croisés troués, non ?

[GaBuZoMeu]

Les couleurs des sommets des polygones n'ont aucune signification, désolé. C'est juste que la commande "polygone régulier" de GeoGebra prend deux points (en bleu) et rend les autres sommets en noir.
Fais attention aux identifications de sommets dans l'hexagone. Tu verras que ton calcul de caractéristique d'Euler ne va pas.

[Kekia]

Ah ben justement, je n'ai pas compris ce que tu appelles les identifications de sommets, si tous les points sont noirs, pour moi, il n'y a qu'un seul sommet.
Avec 3 arrêtes et 1 face, j'obtiens une caractéristique d'Euler qui vaut 1-3+1=-1, qu'est-ce que je fais de mal ?

[GaBuZoMeu]

Ne tiens pas compte de la couleur des sommets, mais regarde les identifications déduites des identifications de côtés opposés par translation pour en déduire les identifications de sommets.

[Kekia]

Ok, c'est bon, j'y suis, je n'avais pas fait attention qu'il fallait tenir compte de l'identification des sommets par translation des cotés opposés, j'étais restée sur les couleurs comme avant, c'est bien pour ça que j'avais tilté sur les sommets bleus d'ailleurs
Pour un polygone à 2n cotés :
si n est pair alors il n'y a qu'un sommet dont tore à n/2 trous
si n est impair alors il y a 2 sommets donc tore à (n-1)/2 trous

Mais du coup, comme j'ai réfléchi à une autre question, en admettant qu'il n'y a qu'un seul sommet pour l'hexagone, on trouve une caracteristique d'Euler qui vaut -1, est-ce que c'est juste interdit ? ou est-ce que c'est équivalent d'une manière bizarre à la surface de Dyck ? ou à autre chose ?

[GaBuZoMeu]

Avec les bords identifiés par translation, on n'aura que des surfaces orientables, donc pas de caractéristique d'Euler impaire.

Petit dessin qui fait voir le tore :

[Kekia]

D'accord, je vois un tore enfin disons plutôt je vois un trou et j'imagine qu'il y un tore autour mais c'est déjà pas si mal, merci.
En fait ma question, c'était ça

Si j'ai bien compris (ce qui n'est pas sur du tout), ça me force à identifier tous les sommets en un unique sommet. Est-ce que j'ai le droit de le faire et si oui, ça correspond à quoi ? J'avais bien dit que je n'y connais rien donc je me fais forcément des réflexions idiotes mais comme j'ai un peu cherché, ça m'intrigue.
Ceci dit, tu as tout à fait le droit de passer à autre chose et je ne t'en voudrai pas

[GaBuZoMeu]

Là tu as effectivement une surface non orientable, de caractéristique d'Euler -1. : une surface de Dyck.

[Kekia]

Donc si je résume, à partir d'un hexagone où on fusionne les arêtes diamétralement opposés, on peut faire

figure 1 : surface de Dyck
figure 2 : tore à 1 trou
figure 3 : je dirai sans certitude bouteille de klein car il me semble qu'on devrait pouvoir remplacer la suite d’arête rouge et verte par une seule arête et ça a du sens par rapport à la caractéristique d'Euler
figure 4 : je dirai avec quasi certitude plan projectif réel (vidéo super bien faite qui replie la figure https://www.youtube.com/watch?v=W-sKLN0VBkk )

Finalement, c'est pas si mal de manipuler un gentil graphe 2D plutôt qu'une surface même pas représentable en 3D, je perçois volontiers l’intérêt

[GaBuZoMeu]

La figure 3 est bien une bouteille de Klein. Tu as tout compris.

[Barbemusicale]

Bonjour,

Voici quelques images de solutions que j'ai trouvé à mon problème :

Tout d'abord, le premier à m'être venu à l'esprit, pavable avec une grille carrée ...


... et une variante, histoire de montrer que peux en créer à volonté sur ce modèle. C'est d'ailleurs valable pour chacune des solutions


Une autre solution m'est venue en regardant les types de pavages dans l'espace, et en l’occurrence le pavage régulier constitué de tétraèdres et d'octaèdres. La surface est pavable avec une grille triangulaire.


À partir de là, j'ai réalisé qu'en coupant en deux comme ci-dessus et en intercalant une "ceinture", le polyèdre restait pavable. Par contre, le sommets n'appartiennent plus tous à un seul et même tore de révolution.


en réalisant un patron en papier des deux tores ci-dessus, je me suis rendu compte qu'il existait un certain nombre de solutions pavables avec une grille triangulaire. Ci-dessus, un tore triangulaire. On peut aussi faire un tore pentagonal et un tore hexagonal. Tout ça avec possiblement ceinture (sauf pour l'hexagonal, pour lequel c'est obligatoire, sinon il est complètement plat et ce n'est plus un polyèdre).
Pour le tore triangulaire ci-dessus, on peut aussi :
- ne prendre que la moitié suppérieure (à mon avis le polyèdre le plus simple : 9 sommets, 15 arrêtes et 9 faces)
- couper les crêtes (ou les pôles, je ne sais pas comment appeler ça).

À l'occasion, j'essaierai de vous mettre une liste la plus exhaustive possible avec une image de chacune des solutions trouvées

[kamizte3]

Tu peux avoir 12 formes quasiment cubiques, qui forment un anneau rond. Donc 12 formes topologiquement semblables entre elles et semblables aux bords du cas précédent.

hellodear.in

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