Nombres complexes

[Birouma]

Bonjour,

Qui pourrait m'aider à résoudre l'exercice suivant ?

a et b étant deux complexes, quel est l'ensemble des points M(z) tels que (z-a)(z-b) est réel ?

(distinguer deux cas : réel positif et réel négatif)

Si on se donne des valeurs numériques pour a et b, l'exercice est simple (il suffit d'écrire l'expression sous la forme algébrique). Dans le cas général, je sèche.

[jlb]

Bonjour,

Qui pourrait m'aider à résoudre l'exercice suivant ?

a et b étant deux complexes, quel est l'ensemble des points M(z) tels que (z-a)(z-b) est réel ?

(distinguer deux cas : réel positif et réel négatif)

Si on se donne des valeurs numériques pour a et b, l'exercice est simple (il suffit d'écrire l'expression sous la forme algébrique). Dans le cas général, je sèche.

c'est bien (z-a)x(z-b)???

[DamX]

Bonjour,

Il y a peut être plus simple, mais y aller de manière assez brutale fonctionne, c'est à dire : si a = a1+ia2 et b = b1+ib2, quelle la condition sur z = z1+iz2 pour que tu aies ce que tu veux ?

Tu vas normalement trouver une expression de z2 en fonction de z1 (et de a et b bien sûr), et tu verras que ton ensemble est en fait une hyperbole.

Damien

[Birouma]

Merci beaucoup.

L'hyperbole est le cas général le plus mais, par exemple pour a=1 et b=3, (z-1)(z-3) réel équivaut à y(x-2) = 0, l'ensemble des solutions étant donc la réunion de deux droites.

La résolution du cas général n'est pas facile à présenter. Le problème étant symétrique par rapport à a et b, j'ai essayé le changement d'origine du repère : z' = z-(a+b)/2. Cela simplifie un peu les écritures mais je ne suis pas allé jusqu'au bout.

Merci encore.

[Birouma]

je voulais dire "est le cas le plus général"

[DamX]

Oui c'est bien comme changement de repère.

Et dans ce repère tu obtiens normalement sauf erreur de ma part :
qui est assez simple comme expression.

[Birouma]

En insistant un peu et grâce à ta force de conviction (!), j'ai fini par conclure, merci!

Z étant symétrique par rapport à a et b, faisons le changement d’origine de repère : z’=z-(a+b)/2

On a alors : Z=(z'+(b-a)/2)(z'-(b-a)/2)=z'^2-((b-a)/2)^2

On est ramené à la recherche des points M(z’) du plan vérifiant : z'^2-z_0;)R, où z_0 est complexe

Posons z_0=c+id. L’ensemble des points M(z'^2 ) décrit la droite z_0+R d’équation y= d.

On est ramené à la recherche des racines carrées des complexes de la forme X+id (x réel).

Posons z'=x'+iy'. Alors : z'^2-z_0;)R;)2x' y'-d=0;)x' y'=d/2

1er cas : d=0 i.e. ((b-a)/2)^2 réel

L’ensemble solution est donc la réunion des deux droite d’équation x’=0 et y’=0

Posons a=a_1+ia_2 et b=b_1+ib_2

Alors : x’=0;)x-(a_1+b_1)/2=0;)x=(a_1+b_1)/2 et, de même, y’=0;)y=(a_2+b_2)/2

L’ensemble des solutions est donc la réunion des deux droites d’équation x=(a_1+b_1)/2 et y=(a_2+b_2)/2.

2e cas : d;)0 i.e. ((b-a)/2)^2 non réel

x' y'=d/2 est l’équation d’une hyperbole équilatère dans le nouveau repère.