Nombres complexes - Méthode pédagogique

[Kah]

Pour trouver des problèmes utilisant les complexes, mais avec des solution réeles, on peut imaginer une équation du type ax^3+bx+c=0, avec 3 solutions réelles "simples", et facilement trouvable instinctivement.
Ensuite, mais il faut l'introduire, on peut essayer Cardan pour résoudre l'équation. Et on tombe sur un os: un discriminant négatif a un endroit.
Bon, coup de folie, on fait comme si de rien n'était, et on tombe sur le bon résultat finalement. Sa fait beaucoup en seconde, mais je ne vois pas moins "complexe" pour avoir quelque chose de concret.

[Zweig]

Oui, on peut utiliser par exemple l'équation "historique" qui a dérouté Bombelli : x^3 - 15x = 4

Voir l'introduction de http://pagesperso-orange.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/cplx03.pdf

[Timothé Lefebvre]

Le hic c'est que Cardan et le troisième degré ne sont vus qu'en Term (et encore ...), comme on me le rappelle à chaque fois que je l'évoque :lol:

[Zweig]

On est pas obligé de lui balancer la théorie autour de Cardan, seulement la formule générale comme c'est très bien fait dans l'intro du fichier que j'ai proposé.

[Timothé Lefebvre]

Oauip, je connais bien ce site :zen:

Bombelli c'est bien beau mais c'est le troisième degré, sans parler des racines cubiques ...

[Zweig]

Bah écoute, je ne vois pas ce qu'il y'a de compliquer dans cet intro pour faire apparaître la nécessité d'inventer ce type de nombres ... Et puis pour la racine cubique, ça prend 1min à explique ce que c'est, avec en prime, la racine n-ième si l'élève est tout gentil :++:

[Timothé Lefebvre]

Alors là je suis totalement d'accord avec toi : si j'étais M. Darcos on verrait les polynômes de degrés 2 et 3 en troisième mais bon.

En fait, ça dépend ce que tu veux enseigner des complexes à l'élève et son degré de motivation ainsi que sa culture mathématique.
Beaucoup de variables donc ...

[Sve@r]

Je pense qu'il faudrait aussi ajouter un point 3)
3)interet des nbs complexes

Alors là, aussi bizarre que cela paraisse, les nombres complexes ont trouvé leur vraie vocation dans la physique relativiste d'Einstein.

Tout le monde connait la formulation d'une distance entre deux points A et B du plan ; A et B étant représentés par leur coorconnées Xa, Ya et Xb, Yb
AB=

De là, on peut étendre la formule dans un espace en 3D
AB=

Et même sur une ligne en 1D
AB=

Pour chaque nouvelle dimension envisagée, on voit s'ajouter ses coordonnées sous la barre de la racine. Mais si on considère l'espace-temps quadri-dimensionnel d'Einstein, on trouve une petite différence dans le schéma général...
AB=
Et l'explication du "plus" qu'on trouve dans les 3 premières dimensions qui devient un "moins" pour la dimension temporelle s'explique car cette dernière fait partie de l'axe des imaginaires. La formule initiale commence bien par "+ (Tb - Ta) mais cette opération est en plus factorisée par i² et comme i²=(-1), le "plus" devient un "moins".

Il existe peu d'exemples de l'histoire humaine où l'outil a été inventé avant qu'on ait à s'en servir... mais le nombre complexe en est un. On trouve aussi pour l'exemple les espaces de Riemann, inventés "pour le plaisir" mais qui ont là-aussi permis à Einstein de bâtir sa théorie de la relativité générale basée sur l'espace courbe...

[Jonny]

Salut,
je suis entièrement d'accord avec Luc. L'approche par couple de réels, qui m'a été présentée cette année, est nettement plus claire et amène ensuite naturellement à l'écriture a+ib.
Je me souviens que quand j'ai vu les complexes pour la première fois, c'était quelque chose du genre "posons un nombre i tel que i^2=-1."

Et là, je me suis demandé : mais pourquoi -1 ? A quoi ça sert ? En fait i c'est quoi vraiment ?

Avec la définition par couple de réels, c'est beaucoup plus dans la continuité des notions "intuitives", a mon avis.

[Timothé Lefebvre]

Tu as regardé mon premier message dans cette discussion ?
Tu en penses quoi ?

[Sve@r]

Et là, je me suis demandé : mais pourquoi -1 ? A quoi ça sert ? En fait i c'est quoi vraiment ?

Effectivement. L'approche "imaginons un outil sans savoir vraiment à quoi il va servir" n'est pas forcément la meilleure qui soit (que ce soit en maths ou dans n'importe quelle matière)...

Tu as regardé mon premier message dans cette discussion ?
Tu en penses quoi ?

Euh... a qui tu parles ??? Moi j'aime bien et ça reprend l'idée historique de la chose. Mais bon, chacun cherche midi là où il le sent....

[Timothé Lefebvre]

Je parlais à Jonny !
Bon allez je vais pioncer, faites pas trop de bêtises :lol:

[Jonny]

Je l'ai lu oui, et je suis assez d'accord sur le fait que l'approche par les équations est intéressante, dans la mesure où l'on trouve un intérêt (brouillon quand même) aux complexes.

Le problème réside dans cette phrase :

J'explique ensuite que cette deuxième solution appartient à C, et qu'elle en est le principal élément noté i.

Pourquoi ? Ca revient quand même à poser quelque chose de pas très habituel.

J'imagine ne pas connaître les complexes. Si on me dit, "on aimerait bien trouver des solutions à cette équation donc on introduit un nombre i^2=-1," je me demande immédiatement pourquoi ? La racine d'un nombre négatif n'existe pas : alors si cette solution n'existe pas, pourquoi la chercher ?

Il faut expliquer où l'on cherche la solution (c'est à dire C) plutôt que de directement dire qu'on veut une solution donc qu'on pose quelque chose de nouveau. Ca permet de comprendre précisément l'intêret de C.

Après, tu as compris comme ça, j'ai compris avec "on pose i^2=-1" donc c'est sûr qu'au final ça finit par rentrer. Mais pourquoi se casser la tête quand on peut introduire les notions plus en douceur ? ^^

[ffpower]

Cela dit,si on ne connait que N,pourquoi chercher a résoudre x+3=2?^^

[Jonny]

Tu m'accorderas que Z est plus intuitif que C quand même ^^

On dit qu'un nombre négatif, c'est une dette, ou une perte, etc... et ça se comprend très bien.

[ffpower]

en effet,mais le principe et le meme.Et le passage de Q a R a par contre été beaucoup plus dur a accepter historiquement que le passage de R a C.R lui n est donc pas si intuitif que ca^^

[anima]

Tu m'accorderas que Z est plus intuitif que C quand même ^^

On dit qu'un nombre négatif, c'est une dette, ou une perte, etc... et ça se comprend très bien.

Pas d'accord. Perso, je sortirai l'histoire du discriminant pour prouver tout ca.
soit .

On connait les cas . Cependant, et si etait possible?
La magie de cette hypothese, que j'ai d'ailleurs utilise comme premiere preuve "complexe", est assez sympa. Soyons tetu. avec . On trouve deux solutions purement theoriques . Jusque la rien de special.
Cependant, on sait que ssi est l'ensemble des solutions.

Il se passe quoi, quand on multiplie un conjugue? On retrouve l'equation initiale!

[Luc]

Bonjour,
Au sujet des nombres complexes, il y a ces lumineuses citations de Gauss:

De même qu'on peut se représenter le domaine entier de toutes les quantités réelles au moyen d'une ligne droite indéfinie, de même, on peut se figurer le domaine entier de toutes les quantités, les quantités réelles et imaginaires au moyen d'un plan indéfini où tout point, déterminé par son abscisse a et son ordonnée b, représente pour ainsi dire la quantité a + bi.

et:

Si le point de vue que l'on avait de ce sujet était jusqu'à présent mauvais,
et donc enveloppé de mystère et d'obscurité, c'est largement en raison d'une terminologie inadaptée qui aurait due être blamée. Si, au lieu d'unité positive, négative et imaginaire ou pire encore impossible l'on avait nommé +1, -1 et , disons, unité directe, inverse et latérale, on aurait à peine vu paraître une telle obscurité.

[axiome]

Après, là où ça se complique c'est à la représentation géométrique du nombre complexe et faire comprendre la notion d'affixe d'un point ...

Pourquoi trouves-tu cela compliqué ?
La notion d'affixe d'un point est assez simple, il suffit de faire le parallèle avec les coordonnées du point qu'on connaît depuis la 5e.
Ainsi, par exemple, dire que A a pour affixe x+iy, c'est dire que A(x ; y), tout simplement. :happy2:

PS : Avec ce message, je passe enfin membre complexe (pas trop tôt :happy2: )
Et c'est réel, ce n'est pas de l'imaginaire pur... :marteau: Bon, je sors... :ptdr:

[Kah]

Ou alors, et je ne suis pas sur a 100% de ce que j'avance, les nombres complexes ont trouvés une utilité récente dans l'électronique.