Les nombres complexes sont-ils comparables entre eux ?

[grantstewart]

Bonjour à tous…

Une question me tracasse en ce qui concerne la loi mathématique de la comparaison.

Mon calculateur voyage 200 m'affirme que
5i < 4i : false
5i > 4i : false
5i+5 < 4i+4 : false
5i+5 > 4i+4 : false

Donc, selon lui, deux nombres complexes ne sont pas comparables.
A-t-il raison ou bien se trompe-t-il ?

[Ben314]

Salut,
Si tu précise pas "comparable" pour quelle relation d'ordre, la question n'a pas le moindre sens vu que c'est comme si tu demandait si tel truc est mieux que tel autre sans préciser ce que tu entend par "mieux".

[beagle]

Pour le dire autrement, voici la réponse de plume d'oeuf sur autre site:"






17/04/2010, 16h17 #2



Plume d'Oeuf



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Date d'inscription:mars 2010Âge:31Messages:1 231




Re : Pourquoi ne peut-on pas comparer deux nombres complexes ?



Bonjour,

Ce n'est pas aussi évident. Les nombres complexes par définition sont des nombres qui n'ont pas de réalité physique. Autrement dit ils ne sont là que pour résoudre des équations, ou pour faciliter des calculs, mais ne représentent rien de concret.

Prenons un exemple. Peux tu comparer ces deux nombres: 4+7i et 12-3i?

Concernant i et 2i, il n'y a rien d'évident à ce que l'un soit plus petit que l'autre. i est défini comme étant la racine carrée (imaginaire) de (-1), ce qui n'a pas de sens physique. Comment dans ces conditions être capable de dire que l'un est plus petit/plus grand que l'autre?

De plus pour pouvoir dire que i<2i, il faudrait admettre que i soit positif. Or i étant défini comme quelque chose de physiquement impossible, la notion de positif/négatif est difficile à envisager.



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17/04/2010, 16h20 #3



danyvio



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Date d'inscription:octobre 2006Localisation:LyonÂge:75Messages:3 270




Re : Pourquoi ne peut-on pas comparer deux nombres complexes ?



Tout au plus pourrait-on comparer les modules de deux nombres complexes, mais pas les complexes eux-mêmes.







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17/04/2010, 16h30 #4



Plume d'Oeuf



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Date d'inscription:mars 2010Âge:31Messages:1 231




Re : Pourquoi ne peut-on pas comparer deux nombres complexes ?



Re-Bonjour.

J'ai oublié de préciser qu'un nombre complexe peut être vu comme un couple de nombres réels.

Or comment dire qu'un couple est supérieur à un autre? On pourrait chercher la norme algébrique de ce couple, ce qui donnerait éventuellement un moyen de comparaison, mais ne serait pas suffisant:

Les couples (-1;-1) et (1,1) ont la même norme, égale à racine de 2, mais ne sont pas les mêmes couples pour autant.

[pascal16]

En javascript, il ont inventé "nan" qui veut dire "not a number" pour les calcul du genre ln(-1)
on y a même rajouté +oo et -oo
on a alors des calculs qui ne plantent jamais, mais qui ne donnent pas forcément un nombre.

la caculette ici ferait mieux de répondre "nc" pour "not comparable"

au passage, as-tu essayé 1+0i comparé à 2+0i ou un mélange réel/complexe

[grantstewart]

J'ai l'impression que mon autre calculateur, le TI-91 II, délire complètement :
il me renvoie
158i+658 > 27i+8000 : -7342+131i > 0
avec 8000-658=7342 & 158-27=131

Par contre, il réagit de manière cohérente ici :
1+0i < 2+0i : true
1+0i > 2+0i : false

Et pour un mélange réel/complexe :
45+54i < 3 : 42+54i < 0
45+54i > 3 : 42+54i > 0

[hdci]

En fait on peut comparer les nombres complexes, il suffit de définir une relation d'ordre, celle-ci peut être totale.

L'une des plus simples, qui prolonge l'ordre des réels, est la comparaison lexicographique : on compare les parties réelles, et si elles sont égales on compare les parties imaginaires.

Cela fait bien une relation d'ordre totale sur l'ensemble , mais ce n'est pas une relation d'ordre total sur le corps .

En effet, une relation d'ordre sur un corps doit respecter le fait que si , alors pour tout

Et cela ne marche pas dans le corps , puisqu'avec l'ordre lexicographique, , et ; et quand on multiplie la première iégalité par , on trouve ce qui est évidemment faux.

Il est facile de généraliser pour montrer qu'aucune relation d'ordre total sur est une relation d'ordre total sur le corps .

[grantstewart]

Bravo pour cette superbe démonstration mathématique, hdci.
C'est toi qui gagnes parmi toutes les réponses ci-dessus !
A la prochaine...

[beagle]

Ce qui me trouble perso, c'est qu'une personne qui comprend "qu'une relation d'ordre total sur un ensemble n'est pas une relation d'ordre total sur le corps"
ben que cette personne trouve bizarre que la calculatrice n'aime pas vraiment dire sup ou inf pour 5i et 4i

ça doit ètre possible, la preuve, mais on apprend quoi et dans quel ordre me trouble.