De trois nombres premiers entre eux

[Elerinna]

Cet exercice d'oral devrait mettre l'eau à la bouche des épris de curiosités mécaniques des nombres.

* Préliminaire. Soit et tels que :

On suppose premiers entre eux deux à deux.

Montrer que : tel que :


* Soit \ non tous constants et premiers entre eux dans leur ensemble.

Montrer que :

[Elerinna]

(Comme celui suggéré avant-hier...) Up!

[Judoboy]

Je veux bien une indication pour la 2 :)

[Elerinna]

Raisonne par l'absurde en partant de l'hypothèse contraire : que dirait-on si ?

[Judoboy]

C'est ce que j'ai fait, mais j'arrive pas à grand-chose.

[Elerinna]

A titre indicatif, de quelle manière a-t-on réussi à venir à bout de la 1) (solution à masquer en blanc)? :)

[Judoboy]

En écrivant les polynômes sous forme "scindée" (enfin jme suis pas fait chier à faire une démo complète mais de tête ça a l'air de très bien marcher en identifiant)

[Elerinna]

Que signifie ici :"scindé" ? Considère plutôt un polynôme irréductible de divisant A ou B ou C.

[Judoboy]

Les racines de P^n sont d'ordre multiple de n, donc les racines de ABC aussi. Si z est racine de A, il n'est pas racine de B ni de C (car A B et C premiers 2 à 2), or il est racine d'ordre multiple de n de ABC, donc il est racine d'ordre multiple de n de A.

Bref toutes les racines de A sont d'ordre multiple de n, on a bien un polynôme A' tel que A'^n = A (évident en écrivant A sous forme de produits de monômes par exemple)

[Elerinna]

Quid de l'hypothèse : ? Et qu'est-ce qui permet d'aboutir depuis à un (t.b.d) ?

[Judoboy]

J'ai noté P = Pi, j'ai trop de mal pour intégrer les symboles. L'hypothèse P^n = ABC nous dit que les racines de A, B et C sont d'ordre multiple de n, après c'est fini. (c'est quoi t.b.d. ?)

Je comprends pas ta question ?

[Elerinna]

Je comprends pas ta question ?

OK pour 1) : to be defined est défini. Maintenant pour 2) suppose A de degré maximal et factorise .

[Judoboy]

Je dois être nul mais je vois pas. C'est censé être dur ?

[Elerinna]

avec premiers entre eux. Factorise-le puis émets l'idée que parmi des facteurs, un diviseur irréductible P soit commun. A quoi arrive-t-on (en s'aidant du préliminaire) ? :id: