yos a écrit:Je suis pas aussi catégorique. La notion de groupe a émergé progressivement exactement comme a émergé la notion de nombres entiers il y a des milliers d'années. Ca n'a rien à voir avec Galois ou Lagrange en ce sens que à quelques décennies près, on aurait défini le concept de groupe de toutes façons. C'est en ce sens que cela s'apparente plus à une découverte qu'à une invention. Tu as parlé des distributions de Schwartz : l'historique de leur découverte montre bien la nécessité de ce concept à l'époque de leur "découvertinvention" : plusieurs mathématiciens de par le monde était sur la même piste et si Schwartz n'avait pas abouti, on aurait attendu une ou deux décennies et le même concept aurait été dégagé. Un peu comme s'il existait "quelque part" en dehors de nous. Ne te méprends pas, je crois pas en Dieu.
Le caractere ineluctable que tu decris de la creation de la théorie des groupes(oui la theorie des groupes d'aujourd'hui a été serieuseument etoffée et etendue a d'autres domaines depuis Galois biensur) je ne le vois pas comme inherante aux mathematiques, je le vois comme indispensable a notre comprehension des mathematiques. C'est la que reside la nuance. C'est un objet de comprehension car il classifie les mathematiques, les modelise relativement a notre facon d'analyser afin que notre logique d'homme puisse mieux les comprendre.
Pareille pour la theorie des distributions, le fait qu'elle etait desitinée a voir le jour n'est pas incompatible avec le fait que ce soit une invention, c'est une invention de l'Homme avec un grand H.
Par exemple les lances ou les outils prehistoriques, ont été inventé de part le monde a different lieu par des multitudes d'hommes. C'etait leur destiné d'etre créer. Ces outils sont pourtant bien des inventions(le caractere elitiste des mathematiques fait que generalement il n'y a pas chevauchement et chaque invention peu etre attribué a un homme, cependant meme en mathematiques plusieurs hommes peuvent arriver a des conclusions similaires, cf les travaux d'Abel de Gauss et de Galois au 19eme, ). Mais l'universalité n'est pas forcement synonime de decouverte, pour qu'un objet soit une decouverte il faut que son existence meme soit etrangere a notre nature, si Galois Abel et Gauss traitaient des problemes similaires de facon analogue c'est bien parce que tout homme a la meme facon de reflechir et donc la meme facon d'aborder les mathematiques(pour autant des sensibilités differentes ont pu deboucher sur des ecoles de pensées differentes, preuve que pour detacher l'homme des mathematiques et comprendre ce qui est relatif a l'un ou a l'autre il faut s'y mettre avec force, notre propre sensibilité allant jusqu'a devenir egalement un facteur interferant sur son etude ) . Le concept de groupe est ainsi batti sur une logique humaine et sur une facon humaine de voir les choses. Si tu ne dissocies pas l'homme de l'universalité quand tu parles de decouverte comment peux tu dire que cet objet n'est pas en fait lié a la nature propre de l'homme et a sa propre facon d'aborder les problemes?
Quantité d'invention humaine etaient destinées a voir le jour. La carte a puce aurait fini par etre inventée, la mongolfiere et l'avion aussi. Pourtant ces objets sont bien des inventions.
Il y a une nuance importante entre ce qui est destiné a etre créé, et ce qui existe independemment de l'homme. La theorie des groupes c'est une maniere utile efficace et profonde que l'homme a trouvé pour relier des objets mathematiques entre eux, cela ne definie pas les objets mathematiques eux meme. Le fait que cette theorie etait voué a voir le jour est plutot lié a mon sens a la nature de l'homme et a sa facon de penser. C'est a dire que si cette theorie etait predestinée, c'est parce que l'homme ou en tout cas les mathematiciens sont doté de la meme logique humaine et que celle ci a tendance a s'orienter vers les meme facons de modeliser les mathematiques via la meme tendance a constamment structurer et chercher des equivalences pour mieux comprendre. Mais cette maniere n'est pas la seule de comprendre les mathematiques, c'est une maniere humaine en tout cas et meme si la theorie des groupes est surement je suis d'accord avec toi la seule maniere humaine de comprendre certains objets mathematiques sous un certains aspect, les mathematiques ne sont pas humaines et il faut dissocier notre facon de les analyser de leur essence meme.
Ce que tu dis, ton argument n'est absolument pas incompatible avec ma vision des choses, juste que nous l'interpretons differamment. Je n'associe pas l'ineluctable a la structure de ce qu'elle decouvre mais a la structure de celui qui l'a decouvre. En cela la theorie des groupes n'est pas une decouverte a mon sens mais une invention naturel tout comme le tir bouchon, les habits ou le pain, qui etait en nous et non inherant aux mathematiques.
Toute la nuance de mes propos depuis le debut reside justement dans la difference entre ce qui est commun aux mathematiques et ce qui est commun a l'intelecte de l'homme.
Pour moi la theorie des groupes n'existe que parce que pour comprendre, l'homme a besoin d'emprunter certains chemins truffés de syllogismes, d'analogies et d'extrapolations...
Les nombres premiers eux, ne relie aucun concepte entre eux, c'est juste un constat, certains nombre ne sont pas divisible a part par eux meme et par 1, point. La theorie des groupes est un outil d'analyse... Une autre espece, dotée d'une autre logique n'aurait pas forcement eu besoin d'analyser via ce procedé certains objets mathematiques pour les comprendre. Imaginons une espece extraterrestre qui au lieu de comprendre par analogie comprenait par dissimetrie. La "correspondance" de Galois deviendrait la dissimetrie de E.T, cette theorie n'est pas inherante au mathematiques, mais plutot a la facon dont l'homme les comprend...
Pour ce qui est des nombres premiers, ET qui aurait a resoudre un probleme de division, constaterait la meme chose, s'il faut fixer une limite entre la decouverte et l'invention je la fixerais ici, c'est a dire la ou je me contente de constater je ne fais pas intervenir ma logique d'homme mais une logique inherante aux mathematiques. Le concepte de division n'est pas un concept humain mais fondamental et mathematiques, ou ai je besoin de postuler, d'amorcer des analogies, de comparer d'extrapoler, de reflechir en tant qu'homme quand je divise, nulle part, je dois l'admettre seuleument. Un enfant comprend ce qu'est une division comme il comprend ce qu'est l'eau ou la terre et c'est une des premieres notions mathematiques qu'il apprend, il admet qu'on peut diviser, c'est a dire quelque chose d'aussi fondamental que d'aditionner ou de boire, le temps s'additionne continument, les planetes se construisent par addition de matiere et elles se brisent en se divisant, un animal divise sa part en deux si elle est trop grosse, il la fractionne. La theorie des groupe est par contre une maniere humaine de comprendre des objets mathematiques complexe notamment en cherchant des equivalences comprehensibles, elle est tres humaine par sa facon de relier certains objets, elle ne s'admet pas elle se comprend et s'apprecie meme.
Un peu comme s'il existait "quelque part" en dehors de nous.
La ou nous divergeons est representé par cette phrase. Je vois justement cela comme quelquechose qui devait sortir de nous qui emmane de notre logique. Certaines inventions sont aussi vouées a naitre, du livre en passant par les immeubles jusqu'a la theorie des distributions.