Exemples d'actions de groupes sur les matrices

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Nightmare
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Exemples d'actions de groupes sur les matrices

par Nightmare » 21 Juin 2013, 19:38

Voici la leçon que j'ai choisi aujourd'hui pour mon oral d'algèbre. 4h à fouiller dans des bouquins pour trouver 3 pauvres exemples d'actions plus celles que j'avais en tête (conjugaison, congruence équivalence, action du groupe spécial sur le demi-plan de Poincaré) , AUCUN développement à proposer...

Qu'auriez-vous raconté sur cette leçon? Quelle démonstration aurais-je pu proposer pour un développement?

(C'était ça ou les coniques, j'aurais du prendre les coniques mais je m'en suis rendu compte trop tard.)



Luc
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par Luc » 21 Juin 2013, 19:42

Nightmare a écrit:Voici la leçon que j'ai choisi aujourd'hui pour mon oral d'algèbre. 4h à fouiller dans des bouquins pour trouver 3 pauvres exemples d'actions plus celles que j'avais en tête (conjugaison, congruence équivalence, action du groupe spécial sur le demi-plan de Poincaré) , AUCUN développement à proposer...

Qu'auriez-vous raconté sur cette leçon? Quelle démonstration aurais-je pu proposer pour un développement?

(C'était ça ou les coniques, j'aurais du prendre les coniques mais je m'en suis rendu compte trop tard.)

T_T,

j'ai pas encore préparé cette leçon...
je pense parler dans un paragraphe d'actions linéaires (-> théorie des représentations des groupes finis)
L'action du groupe linéaire sur les matrices est centrale dans cette leçon à mon avis, donc conjugaison, équivalence, congruence c'est le cœur du sujet. Il y a aussi l'action par multiplication à gauche (tout bête, mais bon).
Après pour chaque action, essayer de regarder à quoi ressemblent les orbites, les stabilisateurs. Si on peut trouver des représentants. Le cas des matrices à coefficients dans un corps fini.
L'action du groupe spécial sur le demi-plan de Poincaré, je l'ai préparé en développement (ça permet de démontrer que S et T engendrent SL2(Z), notamment). Sinon, peut-être la réduction de Bruhat (je crois qu'il y a un rapport avec l'action des matrices triangulaires supérieures sur les drapeaux de E).

Cela dit, c'est une leçon réputée difficile, donc la notation s'adapte... Pas de découragement avant la fin des oraux! Bon courage pour la suite :happy2:

Nightmare
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par Nightmare » 21 Juin 2013, 21:21

Saluc!

Je pense que j'ai aussi très mal interprété le titre de la leçon. Je voulais à tout prix réussir à faire un parallèle entre des résultats classiques d'algèbre linéaire et la théorie des actions de groupes, en particulier j'ai passé un temps fou pendant ma préparation à trouver un bel exo d'algèbre linéaire qui peut se résoudre à travers les actions de groupes. Pas moyen de trouver quelque chose qui aurait pu faire office de développement.

Au final je suis tombé sur une démo que PSLn(K) est simple pour n > 2 à l'aide d'action doublement transitives (méthode d'Iwasawa) mais il était déjà trop tard pour que je m'en imprègne.

Avec du recul c'est clair et net que je m'en serai beaucoup mieux sorti avec les coniques même si j'ai préparé cette leçon il y a longtemps sans la revoir. Errare humanum est, dit-on (perseverare diabolicum...)

Nightmare
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par Nightmare » 21 Juin 2013, 21:56

Je viens de trouver un exemple condensé de leçon sur ce thème dans un lien de Monsieur23 :

http://minerve.bretagne.ens-cachan.fr/index.php/119_--_Exemples_d%27actions_de_groupes_sur_des_espaces_de_matrices.

Effectivement je suis parti dans une idée complètement à côté de la plaque sur cette leçon. C'est de ma faute j'aurais dû la préparer, mais je ne savais pas qu'elle existait...

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leon1789
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par leon1789 » 21 Juin 2013, 23:02

Night,
arrête de te torturer après ce premier oral. :triste: Il t'en reste encore, repose toi et fais de ton mieux pour la suite. :zen:
(je suis passé par le même chemin)

adrien69
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par adrien69 » 22 Juin 2013, 13:16

Quels étaient les noms de tes examinateurs d'ailleurs ?

Nightmare
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par Nightmare » 22 Juin 2013, 18:37

Tu as raison leon1789 d'autant plus qu'aujourd'hui j'ai eu la leçon "continuité et dérivabilité d'une fonction de R dans R", à l'antipode de ce que j'ai eu en algèbre, le pied!!

adrien69 : Aucune idée!

Monsieur23
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par Monsieur23 » 23 Juin 2013, 12:27

Nightmare a écrit:Tu as raison leon1789 d'autant plus qu'aujourd'hui j'ai eu la leçon "continuité et dérivabilité d'une fonction de R dans R", à l'antipode de ce que j'ai eu en algèbre, le pied!!

adrien69 : Aucune idée!


Tu proposais quoi comme développement?

Bon courage pour la modé :-)
« Je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre ! »

Nightmare
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par Nightmare » 23 Juin 2013, 19:17

J'ai proposé le théorème de Darboux et une fonction continue nulle part dérivable, rien de très original mais ça suffisait.

La modélisation s'est bien passée, l'espoir demeure. En tout cas c'est fini pour l'agrég, demain et après demain CAPES (en touriste...) et après bye bye.

:happy3:

Joker62
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par Joker62 » 23 Juin 2013, 19:24

Hello :)

Et t'as option Probas, Calcul Scientifique ou Calcul Formel ?

Nightmare
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par Nightmare » 23 Juin 2013, 19:28

Calcul Formel. J'ai eu un texte sur le passage d'une équation paramétrique à une équation cartésienne à l'aide du résultant. Je connaissais pas grand chose au résultant sur lequel j'ai un peu fait l'impasse pendant mes révisions mais finalement je m'en suis bien sorti, le sujet n'étant pas trop technique.

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leon1789
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par leon1789 » 23 Juin 2013, 20:49

résultant : outils essentiel pour ceux qui font du calcul formel ! :we:

adrien69
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par adrien69 » 24 Juin 2013, 07:43

Nightmare a écrit:J'ai proposé le théorème de Darboux et une fonction continue nulle part dérivable, rien de très original mais ça suffisait.

J'ai pas la moindre idée de si ça rentre dans un développement, mais personnellement j'aurais parlé de la différentiabilité p.p. des fonctions monotones, juste pour caser le lemme du soleil levant (en priant pour qu'on me demande "pourquoi soleil levant ?", ce qui m'aurait propulsé vers la théorie des graphes et l'analyse fonctionnelle). J'adore le nom "soleil levant"...

Nightmare
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par Nightmare » 08 Juil 2013, 12:31

Les résultats sont tombés. Une note de 1 à l'oral d'algèbre c'était prévu, par contre une note de 6 à celui d'analyse alors que je pensais l'avoir cartonné ça fait mal.

Bref c'est raté pour moi avec des oraux catastrophiques malgré des écrits réussis.

Bravo par contre a Luc et aux autres admis.

Luc
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par Luc » 08 Juil 2013, 13:28

Nightmare a écrit:Les résultats sont tombés. Une note de 1 à l'oral d'algèbre c'était prévu, par contre une note de 6 à celui d'analyse alors que je pensais l'avoir cartonné ça fait mal.

Bref c'est raté pour moi avec des oraux catastrophiques malgré des écrits réussis.

Bravo par contre a Luc et aux autres admis.


J'ai aussi eu mes notes, j'ai été un peu surpris, pensant avoir réussi moyennement mes écrits et assez bien mes oraux, c'est l'inverse dans les notes : 14 en maths générales et 14,5 en analyse aux écrits, 13 en modélisation (option B), 10 en algèbre, 3,5/4 à "agir en fonctionnaire de l'état" et 8 en analyse aux oraux. Au final je suis 136ème, pour 323 admis.

Mauvaise surprise en ne voyant pas le nom de Nightmare dans la liste, car son niveau mathématique est largement suffisant à mon avis (j'ai vu beaucoup de candidats passer l'oral cette année et l'année dernière). Mais à l'oral il y a une part d'aléatoire dans les couplages... et je pense qu'ils ont noté assez sévèrement. Pour avoir une bonne note aux oraux, je pense qu'un développement difficile et maitrisé était nécessaire (j'ai fait un développement simple et bien fait en algèbre, et un développement simple et planté en analyse)
Bon courage pour le travail des développements Nightmare, il faut te dire que tout le travail de l'année n'est pas perdu, la plupart des leçons restent les mêmes.

Et adrien tu passes l'agreg l'année prochaine?

adrien69
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par adrien69 » 08 Juil 2013, 13:40

Pour le coup non, je pars en Erasmus à Londres. D'ailleurs l'année prochaine je ne serai inscrit qu'en M1 à la fac. Donc faudra attendre un an de plus avant que je ne vous fasse part de mes impressions et ressentis quant à ma réussite des épreuves.
Cette année c'est Cachan qui rafle pas mal de places dans le top 10 d'ailleurs.
(j'ai un excellent ami qui est reçu :D)
Tu nous tiens au courant pour le Capes Nightmare ?

Nightmare
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par Nightmare » 08 Juil 2013, 13:43

J'ai l'impression qu'il y a peu de monde de notre prépa agrég (Paris VI) cette année, elle qui prônait un bon taux de réussite.

Luc
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par Luc » 08 Juil 2013, 13:54

Nightmare a écrit:J'ai l'impression qu'il y a peu de monde de notre prépa agrég (Paris VI) cette année, elle qui prônait un bon taux de réussite.


http://www.math.jussieu.fr/~koseleff/Agregation/

17 reçus (sur environ 40 inscrits et 25-30 d'admissibles, à la louche)

Luc
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par Luc » 08 Juil 2013, 13:55

adrien69 a écrit:Cette année c'est Cachan qui rafle pas mal de places dans le top 10 d'ailleurs.
(j'ai un excellent ami qui est reçu :D)


Du coup tu peux peut-être me répondre : est-ce que Cachan a encore une prépa agreg maths en région parisienne, ou est-ce que tout est à Rennes?

Nightmare
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par Nightmare » 08 Juil 2013, 14:01

C'est quand même beaucoup moins que les années précédentes... J'ai l'impression que la préparation était quand même un peu à la ramasse cette année.

 

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