Groupes et algèbre de Lie

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Bon, j y connais preque rien en groupes de Lie,mais vu qu il y aucune réponse, je vais essayer d en dire au moins 2 mots. Pour le lien entre groupe de Lie et algebre de Lie, ben en fait a chaque groupe de Lie est associé une unique algebre de Lie ( je crois, en tout cas c est vrai la plupart du temps ). Et les propriétés du groupe se refletent sur celles de l algebre et vice versa. Ca permet de se placer sur la structure qui nous arrange pour prouver des trucs. Sinon pour l'utilité. Ben en gros, c est juste un groupe topologique, mais ou la multiplication est C infinie, ce qui permet donc de faire de l analyse dessus. Par exemple je sais qu'on peut généraliser les séries de Fourier pour des fonctions allant d un groupe de Lie dans R. ( les séries de Fourier classique correspondant au cas ou la fonction va du cercle dans R, et le cercle c est le groupe de Lie des complexes de module 1). Du coup je crois qu on peut par exemple ainsi faire de l analyse de Fourier pour des fonctions définies sur la sphere n dimensionnelle ( celle ci n a pas de structure de groupe , mais s identifie au quotient du groupe de Lie So_n(R) par che plus quoi ). Donc voila en gros pour ce que j en sais, même si mon point de vue est probablement tres restreint...