Une caracterisation des groupes abéliens ?

[jeancam]

pensez-vous que si dans un groupe il n existe pas deux element distincts et conjugués qui commutent alors le groupe est commutatif.
j en ai à vrai dire besoin dans un corps mais bon, mais si c est vrai dans un groupe je pense que ce serait un resultat interessant.

[abcd22]

Bonsoir,
Un groupe est commutatif si et seulement si tout élément est égal à tous ses conjugués. On écrit juste au lieu de yx = xy pour tous x, y.

[jeancam]

Bonsoir,
Un groupe est commutatif si et seulement si tout élément est égal à tous ses conjugués. On écrit juste au lieu de yx = xy pour tous x, y.

je ne comprends pas pourquoi tu me dis çà.
je crois que le groupe libre a deux element est un contre exemple.
comment peut on caracteriser de tels groupes ?

[abcd22]

je ne comprends pas pourquoi tu me dis çà.

Je cite ta question :

pensez-vous que si dans un groupe il n existe pas deux element distincts et conjugués qui commutent alors le groupe est commutatif.

Je t'ai répondu que s'il n'existe pas deux éléments distincts et conjugués tout court, alors le groupe est commutatif. Dire « il n'existe pas deux éléments distincts et conjugués », c'est pareil que dire que tout élément est égal à tous ses conjugués.

je crois que le groupe libre a deux element est un contre exemple.

Contre-exemple de quoi ? De ce que j'ai dit ? Je n'ai fait que traduire la propriété « G est commutatif » en termes de conjugués.

comment peut on caracteriser de tels groupes ?

Quels groupes ?

[jeancam]

Je cite ta question :

Je t'ai répondu que s'il n'existe pas deux éléments distincts et conjugués tout court, alors le groupe est commutatif. Dire « il n'existe pas deux éléments distincts et conjugués », c'est pareil que dire que tout élément est égal à tous ses conjugués.

tu n as pas tout lu j ai dis pas deux elements disticts et conjugués QUI COMMUTENT.

Contre-exemple de quoi ? De ce que j'ai dit ? Je n'ai fait que traduire la propriété « G est commutatif » en termes de conjugués.

dans le groupe libre a deux générateurs deux elements conjugués ne commutent que s ils sont égaux. c est un contre exemple du fait que cette proprieté caracterise les groupes commutatifs.

Quels groupes ?

est-ce que par exemple ce que j ai dit caracterise les corps commutatif (dans le cas ou le groupe est le groupe des elements non nuls d un corps)

[jeancam]

Je cite ta question :

Je t'ai répondu que s'il n'existe pas deux éléments distincts et conjugués tout court

en fait tu avais paut etre bien lu, je n avais pas vu que tu avais dit tout court. je n ai simplement pas compris pourquoi tu me rappelais la définition d un groupe commutatif.cela dit çà ne fait de mal à personne.
escuse ma reponse à ta premiere reponse elle n etait pas tres claire j etais en train de la modifier mais j ai ete distrait par autre chose...

[R.C.]

Bonsoir
Moi je ne comprend pas trop ce que ca veut dire

si dans un groupe il n existe pas deux element distincts et conjugués qui commutent alors le groupe est commutatif.

Est-ce que c'est
1)si dans un groupe tous les elements distincts et conjugués ne commutent pas
2)si dans un groupe tous les elements conjugués qui commutent sont égaux

J'ai beaucoup de mal avec les il n'existe pas.
Sinon, est-ce que tu as un exemple simple pour que je comprenne un peu mieux?

[jeancam]

Bonsoir
Moi je ne comprend pas trop ce que ca veut dire


Est-ce que c'est
1)si dans un groupe tous les elements distincts et conjugués ne commutent pas
2)si dans un groupe tous les elements conjugués qui commutent sont égaux

2) est plus ou moins la contraposée de 1)

J'ai beaucoup de mal avec les il n'existe pas.
Sinon, est-ce que tu as un exemple simple pour que je comprenne un peu mieux?

non je n ai pas d exemple plus simple pour l instant.
le groupe libre a deux generateurs (suites de a, b , a^-1, b^-1) marche parcequ il y a tres peu d elements qui commutent (deux elements commutent si et seulement si ce sont des puissances d un meme element).

J'ai beaucoup de mal avec les il n'existe pas.

je peux juste dire que parfois( je pense que c est souvent) dans un groupe non commutatif il existe deux elements conjugués differents qui commutent.
par exemple dans S3 (12)(123)(12)^-1= commute avec (123).

[R.C.]

D'accord je comprends mieux d'où ca vient.

je peux juste dire que parfois( je pense que c est souvent) dans un groupe non commutatif il existe deux elements conjugués differents qui commutent.
par exemple dans S3 (12)(123)(12)^-1= commute avec (123).

Ok pour l'exemple avec S3, par contre ca m'etonnerait que dans le groupe libre à deux éléments il existe deux elements conjugués differents qui commutent. Comme tu l'as souligné il y a aucune relation dans le groupe libre, et le seul moyen pour qu'un element soit conjugué à une de ses puissances c'est qu'il y soit egal (car autrement on aurait une relation).

[jeancam]

D'accord je comprends mieux d'où ca vient.



Ok pour l'exemple avec S3, par contre ca m'etonnerait que dans le groupe libre à deux éléments il existe deux elements conjugués differents qui commutent. Comme tu l'as souligné il y a aucune relation dans le groupe libre, et le seul moyen pour qu'un element soit conjugué à une de ses puissances c'est qu'il y soit egal (car autrement on aurait une relation).

le groupe libre a plusieur generateur est donc bien un groupe tel qu il n existe pas de conjuguées distincts qui commutent. un groupe commutatif aussi. et entre les deux je ne sais pas trop. quelles sont les relations sur le groupe libre qui conservent la proprietés ? peut on dire quelque chose dessus ? encore une fois est-ce qu un corps peut etre comme çà...y en a peut etre qui peuvent répondre.

[jeancam]

je crois que c est vrai si le groupe est fini. quelqu un m adit qu il fallait d abord montrer que les p-syllow sont abeliens mais j ai pas tout suivi. si quelqu un a une indication...

[abcd22]

je crois que c est vrai si le groupe est fini.

Avec la remarque que j'ai faite, c'est vrai si et seulement si « il n'y a pas d'éléments conjugués distincts qui commutent » implique « il n'y a pas d'éléments conjugués distincts », c'est peut-être vrai dans certains cas, mais en général ça m'étonnerait.

quelqu un m adit qu il fallait d abord montrer que les p-sylows sont abeliens

C'est faux, les groupes de cardinal p ou p^2 avec p premier sont abéliens, mais un groupe de cardinal p³ n'est pas forcément abélien (par exemple le sous-groupe du groupe multiplicatif des quaternions {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} est de cardinal 8 = 2³ et n'est pas abélien).

[jeancam]

C'est faux, les groupes de cardinal p ou p^2 avec p premier sont abéliens, mais un groupe de cardinal p³ n'est pas forcément abélien (par exemple le sous-groupe du groupe multiplicatif des quaternions {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} est de cardinal 8 = 2³ et n'est pas abélien).

c est bien sur faux en géneral mais c est je crois vrai dans le cas qui nous interesse(appelons ces groupes les groupes presque commutatifs)
les quaternions ne sont pas presque commutatifs.c est pour çà que çà ne marche pas.
j ai conscience que la terminologie presque commutative est mauvaise car les groupes comme çà m ont l air soit commutatifs soit tres loin de l etre (groupe libre a plus de deux generateurs)
si quelqu un veut bien montrer que les groupes fini sont pc. c est bien