Démonstration de la validité de la conjecture de Collatz

[Coll1938]

Pour rappel les règles d’une suite de COLLATZ :
On part d’un nombre entier positif non nul quelconque X et on construit une suite de nombres successifs en utilisant les deux règles suivantes :
1 - Si X est pair on le divise par 2 pour obtenir le nombre X suivant de la suite, et si nécessaire on répète la division par 2 jusqu’à obtenir un nombre X impair.
2- Si X est impair on le multiplie par 3 et on ajoute 1 pour obtenir le nombre suivant X pair.
La conjecture de COLLATZ est que quelque soit le X de départ la suite se terminera toujours par 1 puis répétition perpétuelle du cycle trivial 4, 2,1.
Deux remarques pour simplifier le problème
- La première , partir d’un nombre impair ne change pas le problème, les étapes paires ne présentent pas d’intérêt.
- La deuxième est que les nombres impairs de la suite ne sont jamais divisible par 3 à l’exception du premier nombre impair commençant la suite.
En faits les suites de Collatz conduisent à l’ensemble des nombres impairs non multiple de trois à partir de l’ensemble des entiers.
Les nombres entiers pairs et impairs doivent pouvoir être classés dans un ordre croissant à partir de 1 avec une liaison définie entre entiers, entiers impairs non multiple de 3 puis tous le entiers impairs.
Ainsi en partant de 1 on obtiendra une suite qui diverge et donc converge vers 1 dans l’autre sens.
Les nombres impairs ce succèdent comme les nombres pairs avec un écart de 2.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 , 15 …
Les nombres pairs ce succèdent comme les nombres pairs avec un écart de 2.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 , 22, 24, 26, 28, 30 …
Les nombres pairs de rang impair sont le double d’un nombre impair, les nombres pairs de rand pair sont les doubles d’un nombre pair.
Pour 1 nombre impair 2 nombres pairs existent.
Les nombres entiers étant rangés dans l’ordre croisant on obtient les nombres X impairs non multiple de 3 rangés dans l »ordre croissant en multipliant par 3 le nombre entier et on retranche 2 si le nombre est impair ou seulement 1 si le nombre est pais.
A partir des nombres X on obtient tous les nombres impairs, une fois et une fois seulement avec l’une des deus formule:
- (X*2^(2*n)-1)/3 si X est 1 modulo 3
- (X*2^(2*n-1)-1)/3 si X est 2 modulo 3
-
On obtient le début de la table ci-dessous
X 1 2 3 4 5 6 n
1 1 (X*(2^2*n)-1)/3 1 5 21 85 341 1365
2 5 (X*(2^n-1)-1)/3 3 13 53 213 853 3413
4 11 (X*(2^n-1)-1)/3 7 29 117 469 1877 7509
3 7 (X*(2^2*n)-1)/3 9 37 149 597 2389 9557
6 17 (X*(2^n-1)-1)/3 11 45 181 725 2901 11605
8 23 (X*(2^n-1)-1)/3 15 61 245 981 3925 15701
5 13 (X*(2^2*n)-1)/3 17 69 277 1109 4437 17749
10 29 (X*(2^n-1)-1)/3 19 77 309 1237 4949 19797
12 35 (X*(2^n-1)-1)/3 23 93 373 1493 5973 23893
7 19 (X*(2^2*n)-1)/3 25 101 405 1621 6485 25941
14 41 (X*(2^n-1)-1)/3 27 109 437 1749 6997 27989
16 47 (X*(2^n-1)-1)/3 31 125 501 2005 8021 32085
9 25 (X*(2^2*n)-1)/3 33 133 533 2133 8533 34133
18 53 (X*(2^n-1)-1)/3 35 141 565 2261 9045 36181
20 59 (X*(2^n-1)-1)/3 39 157 629 2517 10069 40277
11 31 (X*(2^2*n)-1)/3 41 165 661 2645 10581 42325
22 65 (X*(2^n-1)-1)/3 43 173 693 2773 11093 44373
24 71 (X*(2^n-1)-1)/3 47 189 757 3029 12117 48469
13 37 (X*(2^2*n)-1)/3 49 197 789 3157 12629 50517
26 77 (X*(2^n-1)-1)/3 51 205 821 3285 13141 52565
28 83 (X*(2^n-1)-1)/3 55 221 885 3541 14165 56661
15 43 (X*(2^2*n)-1)/3 57 229 917 3669 14677 58709
30 89 (X*(2^n-1)-1)/3 59 237 949 3797 15189 60757
32 95 (X*(2^n-1)-1)/3 63 253 1013 4053 16213 64853

Tous les nombres impairs d’une même ligne de la table ont le même successeur unique X quand on applique la règle de Collatz3*impair + 1.
A l’exception de 1 aucun nombre X se retrouve sur ma même ligne, validité de la conjecture oblige.
On est donc obligé soit de diverger si on part de 1, soit de converger vers 1 et l’ordre établis ne permet que de converger vers 1 si op part d’un nombre supérieur à 1.

CQFD

[Coll1938]

Ddonnées complémentaires.
Tous les termes de la suite (2^(2*n)-1)/3 pour n entier positif variant de 1 à l'infini conduisent à 1 avec
l'application de la règle 3*n+1 et cette suite est infini.
Quelque soit k le nombre d'étapes impaires, le nombre de nombres impairs qui conduisent à 1 après k applications de k la règle 3*n+1 est une suite infinie.

[ingauch]

Bonjour.
Cela ne montre pas que la suite ne diverge pas.
Il y a aussi beaucoup de fautes et d’évidences qui nuisent au sérieux.