Conjecture de Collatz

par **guigui51250** » 23 Mar 2008, 19:27

Bonjour à tous

Il y a 2 semaines, notre prof de math nous a montré la conjecture de Collatz et on l'a un peu étudiée mais pas beaucoup. C'est une suite assez bizarre, je me suis demandé comment pourrait-on la représenter graphiquement mais ma prof de math ne sait pas donc si quelqu'un pourrai m'expliquer :we: (si c'est possible)

Merci

par **anima** » 23 Mar 2008, 19:57

guigui51250 a écrit:Bonjour à tous

Il y a 2 semaines, notre prof de math nous a montré la conjecture de Collatz et on l'a un peu étudiée mais pas beaucoup. C'est une suite assez bizarre, je me suis demandé comment pourrait-on la représenter graphiquement mais ma prof de math ne sait pas donc si quelqu'un pourrai m'expliquer :we: (si c'est possible)

Merci

Elle est toute simple a énoncer, cette conjecture. Prends un nombre quelconque; s'il est pair, divise-le par deux. S'il est impair, triple le et ajoute 1. Réitere ad infinitum

D'apres Collatz, la suite converge vers 1. Et pour le moment, personne n'a réussi a le prouver.

(Elle me rappelle Syracuse, cette conjecture, d'ailleurs...)

par **guigui51250** » 23 Mar 2008, 22:36

anima a écrit:Elle est toute simple a énoncer, cette conjecture. Prends un nombre quelconque; s'il est pair, divise-le par deux. S'il est impair, triple le et ajoute 1. Réitere ad infinitum

D'apres Collatz, la suite converge vers 1. Et pour le moment, personne n'a réussi a le prouver.

(Elle me rappelle Syracuse, cette conjecture, d'ailleurs...)

Oui sa j'ai bien compris mais est-ce qu'on peut la représenter graphiquement?

par **anima** » 23 Mar 2008, 22:58

guigui51250 a écrit:Oui sa j'ai bien compris mais est-ce qu'on peut la représenter graphiquement?

Tu sais utiliser Excel, non?

Pour premier nombre C5, tous les suivants sont donnés par récurrence avec la formule:
=IF((C5/2) = ROUND(C5/2,0),C5/2,3*C5+1)

par **guigui51250** » 24 Mar 2008, 10:10

anima a écrit:Tu sais utiliser Excel, non?

Pour premier nombre C5, tous les suivants sont donnés par récurrence avec la formule:
=IF((C5/2) = ROUND(C5/2,0),C5/2,3*C5+1)

ok merci bonne journée a+ :we:

par **cesar** » 24 Mar 2008, 19:21

anima a écrit:Elle est toute simple a énoncer, cette conjecture. Prends un nombre quelconque; s'il est pair, divise-le par deux. S'il est impair, triple le et ajoute 1. Réitere ad infinitum

D'apres Collatz, la suite converge vers 1. Et pour le moment, personne n'a réussi a le prouver.

(Elle me rappelle Syracuse, cette conjecture, d'ailleurs...)

C'EST la conjecture de syracuse... la suite converge vers 1, 4, 2, 1, 4....
cesar, interimaire du forum...

par **Clembou** » 24 Mar 2008, 21:38

cesar a écrit:C'EST la conjecture de syracuse... la suite converge vers 1, 4, 2, 1, 4....
cesar, interimaire du forum...

Une de mes recherches mathématiques portent sur ce type de suites qu'on peut appeler des suites (injectivement) pieuvres. Le tout c'est de savoir quand est-ce que ces suites convergent (vers une boucle) et quand est-ce qu'elles divergent (vers l'infini). J'ai une petite démonstration qui montre que la suite de Syracuse converge pour tout n mais j'ai supposé une proposition...

par **Joker62** » 24 Mar 2008, 22:12

Euhhhhhhhhhhh
J'suis curieux moi ! j'veux voir !
Propose Clembou !

par **Clembou** » 24 Mar 2008, 22:34

Joker62 a écrit:Euhhhhhhhhhhh
J'suis curieux moi ! j'veux voir !
Propose Clembou !

Ba voilà.

Proposition 1 : Soit n fixé tel que u0 = n. Si il existe un k tel que uk < u0 (= n) alors la suite de Syracuse converge.

C'est la proposition que j'ai supposé. Maintenant je pars du fait que tout nombre pair converge, reste plus qu'à démontrer pour les nombres impaires et pour cela je fais le processus inverse.

Proposition 2 : L'ensemble

est infini.

Démonstration : il existe une bijection qui envoie entre

vers

.

Maintenant on prend par exemple les 300 premiers nombres de

(fais sur MAPLE)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300

On retranche 1 à tous ses nombres :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299

et on prend tous ceux qui sont divisible par 3 :

[3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135, 138, 141, 144, 147, 150, 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192, 195, 198, 201, 204, 207, 210, 213, 216, 219, 222, 225, 228, 231, 234, 237, 240, 243, 246, 249, 252, 255, 258, 261, 264, 267, 270, 273, 276, 279, 282, 285, 288, 291, 294, 297, 300]

Mais en divisant tous ses nombres par 3 on obtient l'intervalle [0,100]. Ainsi cela prouve que tous les nombres entre 0 et 100 sont convergent par la suite de Syracuse...

Or j'ai démontre que

est infini donc tous les nombres convergent par la suite de Syracuse.

par **Joker62** » 24 Mar 2008, 22:49

Alors, bon...

Déjà pour toi, tout nombre impair s'écrit de la forme 3k+1 ???

Ensuite, j'ai pas compris ta proposition 1, ce que représente u_0, ce que représente u tout cour en fait :^)

Enfin bref, j'trouve pas que ça prouve la moindre chose...

par **Clembou** » 24 Mar 2008, 22:53

Joker62 a écrit:Alors, bon...

Déjà pour toi, tout nombre impair s'écrit de la forme 3k+1 ???

Ensuite, j'ai pas compris ta proposition 1, ce que représente u_0, ce que représente u tout cour en fait :^)

Enfin bref, j'trouve pas que ça prouve la moindre chose...

Hmmmm, j'avais une démonstration sur une feuille mais je l'ai perdu... Alors :

représente la suite de nombres obtenue par Syracuse, étant donc le terme initial de la suite choisi dans .
Je réféchis sur le rapport entre 3N+1 et N

par **ffpower** » 24 Mar 2008, 23:22

Pareil pour moi,j avais démontré Riemann en regardant la distribution des nombres premiers congrus a 3 modulo 17,mais j ai perdu ma feuille ya 2 semaines.c est con car c etait une demo vachement elegante en plus..

par **Monsieur23** » 24 Mar 2008, 23:27

( Vue la récompense, on verra l'élégance après si tu veux bien... On fait fifty-fifty ? )

par **Clembou** » 25 Mar 2008, 00:00

Clembou a écrit:Hmmmm, j'avais une démonstration sur une feuille mais je l'ai perdu... Alors :

représente la suite de nombres obtenue par Syracuse, étant donc le terme initial de la suite choisi dans .
Je réféchis sur le rapport entre 3N+1 et N

Ah oui ! J'ai oublié d'énoncer une autre proposition qui dit que si on trouve dans la suite pieuvre (Suite de Syracuse par exemple) de terme général quelconque, un élément convergeant alors la suite pieuvre des éléments de ce terme général converge.

Exemple :

7 est convergeant par Syracuse ainsi que 14, 28, ...,

,

.

et donc plus concrétement, si on applique à un nombre impair

l'opération

, cela donne un nombre pair. Or tout nombre pair converge par la suite de Syracuse, il en est de même pour un nombre impair. Reste à démontrer la Proposition 1. :zen:

Tout est dans mon dossier Recherche mais il y a certaines pages qui manquent (je ne sais pas pourquoi :hum:)...

par **Patastronch** » 25 Mar 2008, 13:24

Clembou a écrit:Ah oui ! J'ai oublié d'énoncer une autre proposition qui dit que si on trouve dans la suite pieuvre (Suite de Syracuse par exemple) de terme général quelconque, un élément convergeant alors la suite pieuvre des éléments de ce terme général converge.

Exemple :
7 est convergeant par Syracuse ainsi que 14, 28, ..., , .

et donc plus concrétement, si on applique à un nombre impair l'opération , cela donne un nombre pair. Or tout nombre pair converge par la suite de Syracuse, il en est de même pour un nombre impair. Reste à démontrer la Proposition 1. :zen:

Tout est dans mon dossier Recherche mais il y a certaines pages qui manquent (je ne sais pas pourquoi :hum:)...

Reste a montrer que tout nombre pair converge c'est ca ? Reste tout a montrer alors !

par **morpho** » 25 Mar 2008, 16:33

On remarque des que k des qu'on trouve 1 on s'arrete) l'idée est suivant: on divise n par 4:

1) n=0 (mod 4) donc n=4m ===> etape suivant k=2m k=12m+4 ===> k=6m+2 ===> k=3m+1 etape suivant k=2m+1 < n Ok on descend

4) il reste le cas n=3 (mod 4) donc n=4m+3 la on ne sait pas, car on descend et on monte !!!!!

mais quand meme 3/4 cas qu'on descend donc la probabilite que la suite soit convergent est de 3/4 c'est quand meme beaucoups !!!!

par **anima** » 25 Mar 2008, 16:57

morpho a écrit:On remarque des que k des qu'on trouve 1 on s'arrete) l'idée est suivant: on divise n par 4:

Reste a la prouver, ton inférence que des que la suite descend en dessous du premier nombre, elle converge. Ca me semble vraiment léger.

par **morpho** » 25 Mar 2008, 17:30

anima a écrit:Reste a la prouver, ton inférence que des que la suite descend en dessous du premier nombre, elle converge. Ca me semble vraiment léger.

je pense que le raisonnement tient debout !!! en effet supposons que quelque soit n il existe une étape k tel que k<n alors la suite converge.

En effet on reprend le meme raisonnement pour k=n. comme on ne peut pas descendre indefiniment on tombe donc surment sur 1 (desque n=1 on s'arrete)

ce que j'ai démontrer:
quelque soit n la probabilite(k<n) = 3/4

la dificulté c'est la cas n=4m+3 on n'en sait rien!!!! par contre pour les autres cas on est sur qu'on descend tot ou tard

par **anima** » 25 Mar 2008, 17:36

morpho a écrit:je pense que le raisonnement tient debout !!! en effet supposons que quelque soit n il existe une étape k tel que k<n alors la suite converge.

En effet on reprend le meme raisonnement pour k=n. comme on ne peut pas descendre indefiniment on tombe donc surment sur 1 (desque n=1 on s'arrete)

Tu veux que je formule ma critique autrement? Prouve la décroissance globale de la suite de Syracuse et le prix est (surement) pour toi. Car, jusqu'a présent, tu as prouvé qu'il y a 0.75 de chance que pour n'importe quel nombre n, n+1 ou n+2 sont inférieurs a n. Etends cela a l'infini, avec un peu de probas, en considérant ta proba indépendante (en vérité, elle ne l'est pas vraiment, mais c'est pas grave): il y a une proba non-nulle (mais tres petite) que ta suite ait divergé pour tout n. Or, la conjecture dit bien que toute suite de Syracuse converge.
Le probleme reste entier.

par **morpho** » 25 Mar 2008, 18:26

anima a écrit:Tu veux que je formule ma critique autrement? Prouve la décroissance globale de la suite de Syracuse et le prix est (surement) pour toi. Car, jusqu'a présent, tu as prouvé qu'il y a 0.75 de chance que pour n'importe quel nombre n, n+1 ou n+2 sont inférieurs a n. Etends cela a l'infini, avec un peu de probas, en considérant ta proba indépendante (en vérité, elle ne l'est pas vraiment, mais c'est pas grave): il y a une proba non-nulle (mais tres petite) que ta suite ait divergé pour tout n. Or, la conjecture dit bien que toute suite de Syracuse converge.
Le probleme reste entier.

tu as raison, je ne prétends pas de prouver la conjecture (relis bien mes posts) !!!! Juste une petit remarque qu'on a la chance de tomber sur 1 à à 3/4 c'est tout! et encore c'est la chance (la probabilité).

Relis bien mes posts. Je ne prétend pas d'avoir démontré la conjecture ( pour un entier n quelconque) ni pour une famille particuliere de n.

Conjecture de Collatz

Conjecture de Collatz

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