Collatz et les puissances de 2

[syrac]

Bonjour à tous,

Ça faisait un bon moment que je n'avais pas posté sur ce forum. Je reviens aujourd'hui avec une nouvelle approche de la conjecture de Collatz, qui fait suite à celles que j'avais tentées dans le passé. En fait, celle-ci est leur aboutissement.

J'explique tout ceci dans un document Pdf de cinq pages : Collatz et les puissances de 2

[nodjim]

Bon, tu as l'honnêteté d'annoncer qu'il ne s'agit pas d'une démo, mais du coup l'intérêt de la lecture diminue beaucoup.....

[syrac]

Bon, tu as l'honnêteté d'annoncer qu'il ne s'agit pas d'une démo, mais du coup l'intérêt de la lecture diminue beaucoup.....

Tout l'intérêt de la lecture réside dans la description du processus qui permet à la suite d'aboutir à 1. Le jugement que chacun portera sur cette description se rapportera selon moi au fait de savoir si elle est ou non suffisamment convaincante pour jeter un nouveau jour sur le problème de Collatz.

Et puis il se pourrait que quelqu'un parvienne à une démonstration, au sens mathématique du terme, de l'expression de la dernière page, celle qui est toujours égale à 1. Je ne suis pas sûr d'en être moi-même capable...

[lulu math discovering]

Je n'ai pas encore pris le temps de lire ton étude, mais sachez que vous pouvez TOUS participer à la recherche sur la conjecture de Collatz (plus précisément au calcul de la suite pour des valeurs de plus en plus grandes, pour confirmer ou infirmer la conjecture) en téléchargeant l'application/programme BOINC qui est un logiciel de calcul participatif. :lol3:

[syrac]

@lulu math

Je ne voudrais pas avoir l'air présomptueux, mais après avoir lu mon papier crois-tu qu'il soit encore utile de calculer des suites de Collatz ?

[nodjim]

Syrac, tu ne t'avances pas à annoncer une preuve mais cependant tu indiques qu'il est maintenant inutile de faire des calculs. Eclaircis ton discours, s'il te plait.

[syrac]

Tu poses là une question fondamentale : est-il réellement nécessaire d'apporter une démonstration à un algorithme qui de toute évidence fonctionne ? Faire une division à l'aide d'un crayon et d'un papier relève également d'un algorithme. La question de sa démonstration se pose-t-elle, puisqu'on sait qu'il fonctionne ?

Si démonstration il doit y avoir elle devra porter sur le fait que l'expression de la section "Mais d'où cet algorithme sort-il ?" est toujours égale à 1. Si quelqu'un parvient à le démontrer alors la conjecture de Collatz cessera d'en être une. L'algorithme mis en oeuvre dans la fonction sommeEgale() part du principe que le rapport en question est toujours de 1, et le fait qu'il fonctionne est un sérieux indice que cette supposition est vraie.

[Sylviel]

Le canard a vu plusieurs centaine de fois le fermier rentrer le matin et lui apporter du grain. Pourtant un jour le fermier viendra pour lui tordre le coup.

Ce n'est pas parce que ça marche à chaque fois qu'on essaie que l'on peut être sûr que ça marche à tous les coups.

[Lostounet]

Le canard a vu plusieurs centaine de fois le fermier rentrer le matin et lui apporter du grain. Pourtant un jour le fermier viendra pour lui tordre le coup.
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Génial :ptdr:

[nodjim]

L'évidence du fonctionnement (je comprends pas là: aboutit tjs à 1) n'est qu'apparente, et prouvée seulement pour les nombres testés. J'arrive très bien à imaginer une bulle de nombres très grands qui se rebouclent, avec une infinité de nombres qui tombent dedans. Si j'affirme que ça existe, bien que je ne l'aie pas trouvée, comment me prouveras tu que je me trompe ?

[annick]

J'aime beaucoup l'image que tu as prise pour étayer le propos, Sylviel. :lol3:

[syrac]

Bon, je vais essayer d'éclaircir les choses. On considère la suite impaire de Collatz dont les termes sont n0, n1, n2, n3, n4, n5 et les diviseurs successifs d1, d2, d3, d4, d5, donc une suite impaire de 6 termes. Or, il se trouve que lorsqu'on remplace les divers symboles de l'expression de n5, le dernier terme, par des valeurs numériques (pertinentes bien sûr) on obtient toujours 1, ce qui signifie que ce dernier terme est toujours égal à 1 (voir images plus bas). Il n'y a là aucune invention de ma part, ni magie, c'est tout simplement la valeur que donne le calcul !

Mon algorithme tente de comprendre ce phénomène en le reproduisant : se basant sur la valeur de n0 il calcule par récurrence n1, n2, n3, etc., et lorsqu'il arrive à n5 il prend fin parce que la condition de la boucle while cesse d'être vraie : la somme représentant le numérateur est maintenant égale au produit représentant le dénominateur, et non plus différente, ce qui prouve que n5 est effectivement égal à 1.

Il y a une chose importante à comprendre dans la fonction sommeEgale() : ce qui importe n'est pas ce qu'elle renvoie mais de sortir de la boucle while. Si vous faites sommeEgale(n) et que plusieurs secondes après la fonction n'a toujours rien renvoyé, ça veut dire qu'à aucune étape la variable somme n'est devenue égale à la variable div : la boucle while tourne indéfiniment parce qu'elle ne rencontre jamais les conditions de sa sortie, et la fonction ne peut rien renvoyer. On peut en déduire que n n'a pas passé le test, autrement dit que la suite de Collatz de n ne se termine pas par 1. A mon avis ce cas n'a aucune chance de se produire. De ce fait, on peut demander à sommeEgale() de renvoyer ce qu'on veut, "tartampion" par exemple. Je le répète, la sortie de la boucle while est l'unique chose qui importe pour que n soit déclaré avoir passé le test.

A partir de là on peut procéder très rapidement au test d'un grand nombre d'entiers impairs. Il suffit de transformer la dernière ligne de la fonction, {div, rangee*listeP3}, en commentaire, de manière à ce qu'elle ne soit plus prise en compte et surtout que vous ne la perdiez pas. Puis en-dessous vous mettez le chiffre 1. Maintenant sommeEgale(n) va renvoyer 1 si n passe le test et ... rien du tout s'il ne le passe pas. Mais on peut aller encore plus vite en exécutant l'instruction suivante (syntaxe Mathematica) :

Table[sommeEgale(n), {n,3,999,2}]

Ceci va générer une liste des valeurs de sommeEgale() pour tous les entiers de 3 à 999 par incrément de 2, c'est-à-dire les 499 premiers entiers impairs, liste qui sera composée de 499 chiffres 1. Il sera parfaitement inutile de vérifier si elle ne contient bien que des 1, parce que ce sera soit une liste de 1 soit aucune liste (cas où l'une des valeurs de n ne passerait pas le test).

Je viens de faire ce test pour les entiers impairs de 3 à 9999, et la fonction m'a renvoyé une liste de 4999 chiffres 1, donc tous l'ont passé. Attention cependant : cet algorithme manipule des nombres qui peuvent être énormes ! Il vaut donc mieux disposer d'un processeur performant et d'une quantité suffisante de mémoire, mais également limiter la fourchette du test. Je pense que les très grands nombres impairs ne pourraient pas être testés sur un PC ; il faudrait un gros ordinateur, comme ceux de la météo ou de la NASA.

Il semble en conséquence, au moins pour les 4999 premiers entiers impairs, que l'expression du dernier terme d'une suite, c'est-à-dire la dernière division d'une somme par un produit de diviseurs, soit bien égale à 1, puisque l'algorithme reproduit cette expression. Maintenant, on peut toujours essayer de le démontrer formellement. Voici les expressions que l'algorithme calcule par récurrence pour une valeur de n0 telle que sa suite impaire comporte 6 termes (C = 3n0+1):



Ces expressions représentent n1, n2, n3, n4 et n5. Le dernier terme, n5 dans cet exemple, est (semble-t-il) toujours égal à 1 :



C'est ce qu'il faut démontrer. Je précise que si N est le nombre de termes d'une suite impaire, alors celle-ci compte N-1 diviseurs.

Bon courage !

[syrac]

Je viens de faire le test pour les entiers impairs de 10001 à 19999, et les 5000 l'ont passé haut la main en une poignée de secondes ! Puisque tous les entiers impairs de 3 à 19999 l'ont passé, je suis certain que ce sera le cas pour tous.

[nodjim]

Peux tu donner l'exemple d'un nombre, ses no à n5 et d1 à d5 correspondants, stp, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris.

[Doraki]

C'est quoi n5 quand n0 = 16383 ?

[lulu math discovering]

Comment peux-tu affirmer qu'une suite marche forcément pour tous les entiers alors que tu as à peine essayé quelques milliers de nombres ? Surtout quand on pense à l'énormité de certains nombres entiers (cf le nombre de Graham). Tu en aurais essayé plusieurs milliards, je ne dis pas, mais là...

Au fait Sylviel, très bon exemple, je le retiendrais.

crois-tu qu'il soit encore utile de calculer des suites de Collatz ?

A ce moment, en fait, j'essayais surtout de faire la pub de BOINC. :lol3:

[syrac]

Peux tu donner l'exemple d'un nombre, ses no à n5 et d1 à d5 correspondants, stp, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris.

Je reprends l'exemple de n0 = 29. Les valeurs de n0 à n5 représentent la suite impaire de 29, c'est-à-dire 29, 11, 17, 13, 5, 1. Les diviseurs d1 à d5 correspondent quant à eux à 8, 2, 4, 8, 16. En effet, (3*29+1)/8 = 11, (3*11+1)/2 = 17, (3*17+1)/4 = 13, etc.

Tu peux chercher une suite impaire ayant 6 termes, comme dans cet exemple, et calculer ses diviseurs. Ensuite tu remplaces les d1, d2, d3, etc de l'expression de n5 (la seconde image de mon long post ci-dessus) par ces valeurs numériques, et tu verras que la division de la somme par le produit des diviseurs est bien égale à 1.

Voici quelques suites impaires de 6 termes :



@Doraki

la suite impaire de 16383 compte 57 termes, donc n5 ne peut pas être égal à 1. Dans ce cas c'est n56 qui l'est, c'est-à-dire le dernier terme de cette suite. Le seul terme égal à 1 est toujours le dernier.

@lulu math
Parce que les nombres ne sont pas des entités capricieuses. Ils sont au contraire tout ce qu'il y a de plus grégaire, c'est-à-dire qu'ils se comportent comme leurs congénères. La preuve a d'ailleurs été fournie par des calculs effectués sur de puissants ordinateurs par des gens qui savaient ce qu'ils faisaient : ils n'ont jamais trouvé de suite de Collatz qui ne se terminait pas par 1.

Autre chose : avec des "oui mais" on n'avance pas. Toute action dans laquelle on se lance requiert un minimum de foi, surtout lorsqu'on n'a aucun moyen de vérification (je pense aux très grands nombres).

[Doraki]

Or, il se trouve que lorsqu'on remplace les divers symboles de l'expression de n5, le dernier terme, par des valeurs numériques (pertinentes bien sûr) on obtient toujours 1, ce qui signifie que ce dernier terme est toujours égal à 1

donc n5 ne peut pas être égal à 1.

???????????

sinon ben tu n'as absolument rien apporté de nouveau à part un algorithme moins bon que l'algorithme standard pour tester la véracité de la conjecture donc je te laisse à tes occupations.

[syrac]

Peux tu donner l'exemple d'un nombre, ses no à n5 et d1 à d5 correspondants, stp, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris.

Je répète la liste de suites impaires de 6 termes



et j'ajoute leur liste respective de diviseurs, ça t'évitera bien des calculs

[syrac]

???????????

sinon ben tu n'as absolument rien apporté de nouveau à part un algorithme moins bon que l'algorithme standard pour tester la véracité de la conjecture donc je te laisse à tes occupations.

Évidemment, si tu cites deux phrases hors de leur contexte il y a toutes les chances pour qu'une contradiction apparaisse.