Définition des mathématiques

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Baylock
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Définition des mathématiques

par Baylock » 06 Mar 2018, 12:55

Bonjour,

Question épineuse s'il en est:

Comment définiriez-vous les mathématiques en tenant compte du fait que votre public est constitué en partie des parents d'élèves (pour qui les mathématiques sont très souvent une lointain souvenir), en partie des enfants de 12 à 16 ans, mais potentiellement aussi quelques personnes ayant un niveau en mathématiques plus avancé?

Par là, je veux dire une définition qui soit simple, qui ne botte pas en touche, qui ne demande pas de définir ses composants à l'infini mais qui ne soit pas hérétique non plus pour quiconque ayant un bagage mathématique plus conséquent.

Pas simple.

J'ai fait quelques recherches et voici ce que j'ai retenu:

1) la définition de wikipedia francophone:

"Les mathématiques sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les nombres, les formes, les structures et les transformations. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne."

Mais cela semble de trop haut niveau pour une grande partie du public visé. Il faudrait définir plus avant les mots "objets", "structures", "transformations". Ce qui risque d'impliquer d'autres définitions ultérieures etc...
C'est une pente glissante dans laquelle il est facile de s'embourber dès lors qu'on ne veut qu'introduire le sujet sans pour autant plonger directement dedans.

2) la définition de wikipedia anglophone:

"Mathematics is the study of such topics as quantity, structure, space, and change".

Plus généralisant mais on tombe dans le même problème en ce qui concerne les mots "structure" et "changement".

3) La définition d'un cours en ligne:

" Les mathématiques sont l'étude des questions qui ont une réponse définitive".

Ce qui est sympa avec celle-ci, c'est qu'elle est simple, qu'elle ne demande aucune autre forme de définition et qu'elle permet de faire la distinction entre ce qui se discute (opinion, préférences) et ce qui ne se discute pas (axiomes et règles qui en découlent).
Bien entendu, on peut invoquer Goëdel et les énoncés indécidables...
Sans compter que les mathématiques ne sont pas forcément une affaire de questions et de réponses.
Mais ça ressemble bien plus à l'esprit que je cherche.

4) La définition d'un autre cours en ligne:

"Les mathématiques sont un ensemble de règles qui découlent d'un ensemble limité d'axiomes (énoncés que l'on considère comme vrais)".

Celle-ci semble plus précise que la précédente mais tombe dans les mêmes travers, en plus d'avoir un composant à définir ("axiome"). Cela dit, c'est celle qui me parle le plus et la notion d'axiome est, à mon sens, fondamentale. Elle semble un peu moins botter en touche que la précédente, même si, au final, on n'en sait pas beaucoup plus.
Par là, je veux dire qu'il faut déjà connaître les mathématiques pour apprécier la définition (ou la démonter).
Mais elle reste assez compréhensible pour quelqu'un qui n'a pas de bagages.

Toute autre définition simple que j'ai trouvé sur le net tend à largement confondre mathématiques et arithmétique, en ne tenant compte que des nombres et des opérations. Ce qui n'est évidemment pas approprié.

J'ai posé la question ailleurs et, comme souvent en ligne, ça n'a pas été constructif (on cherche plus à se faire valoir qu'à essayer de trouver une réponse à la question posée).
Une réponse emblématique que j'ai reçue:

"Les mathématiques sont ce qu'on étudie au cours de maths".

Or c'est exactement ça que je veux éviter:parler d'un sujet qu'on ne définit pourtant jamais.

Je comprends très bien le sens caché de cette réponse qui est que, à ce niveau de connaissance, la personne n'a pas les clés suffisantes pour appréhender pleinement le concept.
Mais le mot clé est "pleinement".
Je ne veux pas une définition exhaustive.
Juste une approche qui soit assez vulgarisée pour être comprise du grand nombre en donnant un aperçu de ce dont il va être question, mais suffisamment juste pour ne pas susciter une levée de boucliers de la part des experts.

Pensez-vous que ce soit possible?
Auriez-vous une définition adéquate sous le coude?
Ce genre de choses...

Merci.



beagle
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Re: Définition des mathématiques

par beagle » 06 Mar 2018, 13:26

"" Les mathématiques sont l'étude des questions qui ont une réponse définitive".

cela me fait penser à la guillotine,
la réponse est définitive. Mais la question était-elle mathématique?
Juste pour dire que ce n'est pas ma préférée.

beagle
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Re: Définition des mathématiques

par beagle » 06 Mar 2018, 13:34

ensuite je ne sais pas si c'est majeur de définir les maths, où si ne serait pas plus intéressant de discuter vous élèves, ou pour vous parents,
les élèves vont faire des maths pour leur apporter:
...
savoir compter
...
savoir raisonner
...
etc là faudrait relire nos discussions récentes sur cela sert à quoi d'étudier les maths.
plutôt que d'ètre rigoureux sur la définition des maths

Baylock
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Re: Définition des mathématiques

par Baylock » 06 Mar 2018, 13:38

Oui, tout à fait.
Sans compter que résumer les maths à un ensemble de questions/réponses est très scolaire.
Autant dire que les maths sont une série de questions auxquelles ont doit apporter les bonnes réponses pour avoir 10/10 à l'interro...

Voici la référence:
https://youtu.be/JbhBdOfMEPs

Ce cours de vulgarisation est assez bien fait mais dans son intro, le présentateur tombe dans plusieurs pièges parmi lesquels celui de répondre de manière pseudo-objective au fait de savoir si les maths sont une réalité indépendante de l'homme (découverte) ou si elles sont de son cru (invention).
J'aime ben l'idée qu'il fasse des choix pour aller de l'avant mais ces choix sont trop polémiques pour être acceptables.
C'est justement dans ce piège que je ne veux pas tomber.
Modifié en dernier par Baylock le 06 Mar 2018, 14:01, modifié 1 fois.

Baylock
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Re: Définition des mathématiques

par Baylock » 06 Mar 2018, 13:48

Par contre, je n'adhère pas à votre second point de vue, même si je le respecte.
C'est une question d'opinion et de pédagogie.

Je sais que pour ma part, si on me demande d'utiliser un mot dont je n'ai pas un minimum de compréhension, je décroche d'entrée de jeu. Et force est de constater que les enfants aussi. Leur plus grand problème, à mon sens, étant de manipuler des concepts de manière procédurales car ils n'ont absolument aucune compréhension de ce qu'ils font. Or, très souvent, ça pourrait être évité.
Quand mes enfants me demandent ce que sont les mathématiques (question qui revient souvent), il faudrait pouvoir répondre.

Comme je le disais plus haut, il ne faut pas être exhaustif mais il faut pouvoir leur faire sentir que les maths, ce n'est pas que des opérations arithmétiques. Et si ce n'est pas que ça, il faut alors pouvoir définir plus ou moins largement le périmètre que cela englobe.
Sans quoi, dès qu'ils abordent autre chose (algèbre, géométrie, trigonométrie, fonctions, calcul différentiel, etc...), ils ne savent même plus dans quelles eaux ils nagent.
Et je suis persuadé que c'est la base du décrochage.

C'est ce que j'aimerais éviter.

Je pourrais comprendre que ce ne soit pas possible de définir simplement les maths.
Mais j'ai intuitivement l'impression que ce n'est pas le cas.

Pour focaliser la discussion sur la question posée:

Que manque-t-il à cette définition-ci pour être acceptable?
"Les mathématiques sont un ensemble de règles qui découlent d'un ensemble limité d'axiomes (énoncés que l'on considère comme vrais)".

Peut-être pourrait-on construit à partir de là. Car ce qui est dit est assez fondamental.
Il est assez facile et cohérent d'introduire n'importe quel cours/branche des mathématiques, arithmétique compris, à partir de cette définition, aussi vague soit-elle. Non?
Lui manquerait-il quelque chose d'essentiel?
C'est une vue un peu myope sur le sujet puisqu'on ne dit rien sur son cadre, son champ d'action ou son utilité.
Elle rend les mathématiques très statiques en les résumant à une liste des règles aussi.
Mais ça me semble être un bon point de départ, d'autant plus qu'à mon sens, les maths n'ont pas besoin d'avoir un cadre, un champ d'action ou une utilité. En tous cas, ce n'est peut-être pas ce qui les définit de manière fondamentale.

beagle
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Re: Définition des mathématiques

par beagle » 06 Mar 2018, 14:07

"Par contre, je n'adhère pas à votre second point de vue, même si je le respecte."

Je respecte également votre point de vue.
Mais c'est vrai que je n'aime pas les mots.
Donc pour moi un ballon ne sera jamais un facteur rebondissant ou autre foutaise du genre.
J'appelle ballon ce qu'on m'a dit ètre un ballon alors que l'on ne me l'avait jamais défini,
ni rond (le rugby), ni que pour taper dedans au pieds, ni pour le faire rebondir plus que cela...

Bref dans ces conditions je préfère aller en cours de maths , voir le prof de maths,
et sortir du cours de maths en pensant avoir fait des maths...
et un jour en maths je dirai mais c'est des maths ce truc????

Baylock
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Re: Définition des mathématiques

par Baylock » 06 Mar 2018, 14:17

C'est marrant comme les gens ont une manière bien à eu d'appréhender les choses :-)
Je comprends bien votre exemple du ballon.

Pour ma part, c'est comme si je demandais mon chemin et qu'on me répondait:

"Une fois arrivé à Outsiplou, vous prenez la 3ème à gauche, puis la 4ème à droite, puis vous allez tout droit jusqu'à la boulangerie, vous ne pouvez pas vous tromper".

C'est très précis et très bien expliqué. Rien à dire.

Mais comme, d'entrée de jeu, je ne sais pas où est Outsiplou et que j'ai beau chercher, c'est référencé nulle part , je décroche sur le reste de l'explication et considère être aussi perdu après qu'avant :-)

(les exemples ont leur limite, on est d'accord)

En tous cas merci pour l'échange, c'est sympa!

beagle
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Re: Définition des mathématiques

par beagle » 06 Mar 2018, 14:25

ben perso ce que je comprends pas, c'est comme pour le ballon,
à peine tu sais marcher quelqu'un te dit tape dans le ballon
ben alors le ballon il est né, entendu, manipulé, avant que d'avoir eu sa définition précise
idem pour les maths, je trouve curieux qu'un ados ou des parents d'ados soient juste à ce moment là de la scolarité en danger cognitif car ne sachant pas la définition.
au primaire le mome rentre chez lui il y a bien un parent qui aura demandé t'as fait quoi en maths aujourd'hui ou cette semaine, ah le nombre six, ah oui fait voir ...la soustraction, ah oui montre nous...

Baylock
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Re: Définition des mathématiques

par Baylock » 06 Mar 2018, 15:09

"je trouve curieux qu'un ados ou des parents d'ados soient juste à ce moment là de la scolarité en danger car ne sachant pas la définition".

Je peux donner un exemple précis pour illustrer le propos (il y en a plein d'autres).
Attention aux imprécisions possibles, je ne suis pas mathématicien.

Quand on apprend les intégrales, on peut demander à l'élève de produire une réponse. On lui montre comment trouver la primitive et les procédures qui vont bien pour obtenir un nombre au final.
On peut lui donner la définition formelle de l'intégrale en début de cours qui, mathématiquement parlant est imparable mais hermétique, et puis directement embrayer sur les propriétés.
L'élève va le faire et essayer de singer les exercices déjà vu pour répondre à ceux de l'interro à venir.
Mais dès lors qu'on sortira un peu des sentiers battus en lui posant une question un peu hors normes, il sera paumé.
C'est la problématique première aujourd'hui: l'élève voit les maths comme des réponses justes à fournir, quelles qu'elles soient et quoi qu'elles veuillent bien dire. On ne cherche pas à comprendre, juste a bien répondre.
Ceux qui ne seront pas paumés, ce sont ceux qui ont une faculté d'abstraction ou de contextualisation que la majorité n'ont pas.

Par contre, si on introduit le propos en expliquant un aspect concret de la problématique (calcul de l'aire sous une courbe par exemple et la difficulté de pouvoir connaître et appréhender en tout point de la courbe la hauteur entre ce dernier et l'abscisse (et donc de calculer l'aire totale), on peut voir où on va. Les notions de limite et d'approche prennent tout leur sens.
C'est pertinent puisqu'à la base, c'est bien dans cette optique qu'a été inventé le calcul intégral. Il répondait à un besoin très concret.

Ok, ça limite et donc réduit le concept à une affaire d'aire mais on comprend alors à quoi correspond la réponse produite. On comprend pourquoi on utilise des bornes. On comprend pourquoi on en est arrivé au concept de l'intégrale et à quoi il peut servir.
A-t-on fait le tour de la question? Non. Car l'intégrale ne sert pas qu'à trouver l'aire d'une surface sous une courbe.
Mais a-t-on une meilleure maîtrise de ce qu'on utilise pendant qu'on l'utilise et peut-on dès lors sortir un minimum des sentiers battus en extrapolant à partir de ce qu'on sait?
Oui.
Ceci fait, on peut alors relativiser et expliquer que ce qui a été vu dépasse ce simple cadre. On précise le propos. Mais, en attendant, on a eu quelque chose de tangible auquel se raccrocher qui n'était pas formellement faux même si ce n'était pas exhaustif pour autant.

Définir de manière abordable la matière avant permet de savoir où on met les pieds et d'avoir l'impression de marcher en terrain connu tout le long. D'avoir le contrôle.
De chercher à répondre à un problème plutôt que de répondre à une question.
Cela implique de contextualiser temporairement quelque chose d'abstrait (et donc de spécialiser quelque chose de pourtant plus global) mais c'est un mal pour un bien si on revient à l'abstraction par la suite.
Dans l'autre cas, on est dans le brouillard 90% du temps et, si on est perspicace, on pourra a posteriori connecter les points et se rendre compte de ce qu'on a manipulé jusque là. Mais ça, seuls une fraction des élèves en sont capables.
Et cela peut très grandement influencer l'apprentissage, le goût pour les maths et les résultats obtenus.

Je ne dis pas que j'ai raison et que vous avez tort.
Je pense que c'est une approche qui vaut bien la vôtre, qui n'est peut-être pas essentielle pour vous mais qui peut l'être pour d'autres.

Sans quoi, la question du "les maths ça me dépasse, je ne comprends rien à ce qu'on me demande de faire, mais à quoi ça sert tout ça?" ne se poserait peut-être pas autant.
Bien entendu, elle ne se pose pas pour tous mais ceux pour qui elle se pose ne sont pas négligeables.

Encore une fois, c'est juste un point de vue.

Et bien ma question concerne le fait de faire pareil mais pour le mot mathématiques d'entrée de jeu.
Les définir pour donner des repères de base à ceux qui en ont besoin, sans être dans l'hérésie mais sans pour autant faire le tour de la question.

Se mettre quelques planches provisoires sous les pieds pour avancer en vue de construire quelque chose de plus solide par la suite.

Un simple exemple:
Si on disait de manière claire et en préambule à l'élève que la trigonométrie c'est la manipulation d'objets en vue de résoudre simplement les côtés et les angles de tout triangle et que ce faisant on a la maitrise de la mesure de tout polygone et bien, cela démystifierait grandement le propos.
Ca semble évident pour certains au fur et à mesure de l'apprentissage mais je vous assure que cela échappe à beaucoup.
Cela réduirait le propos en le rendant temporairement utilitaire et au champ d'action très limité mais l'abstraction et la généralisation peut suivre, pas de souci.
Modifié en dernier par Baylock le 06 Mar 2018, 15:23, modifié 3 fois.

beagle
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Re: Définition des mathématiques

par beagle » 06 Mar 2018, 15:15

Attention je suis un cas particulier sur ce forum, et en plus probablement inguérissable, donc le dialogue est intéressant, mais ne vous formalisez pas de mes résistances.
Votre exemple avec l'intégrale est assez typique je trouve.
Vous donnez un support physique et c'est ce support physique, visualisable , transformable,
ce support physique servira à l'abstraction, pour différentes surfaces puis pour d'autres aspect de l'intégrale.
En clair j'approuve complètement là la pédagogie.
mais il ne s'agit nullement de l'exprimer avec des mots, l'inteégrale c'est ...(phrase en 10 ou 20 mots).

Donc je suis indécrotable , redonner du sens aux maths c'est redonner du sens physique, pas du sens sémantique.

Baylock
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Re: Définition des mathématiques

par Baylock » 06 Mar 2018, 15:19

Je vous suis totalement car vous avez parfaitement raison.
Mais je pense que je réponds à cela en disant bien qu'on donne du sens physique de manière temporaire pour donner prise MAIS qu'il faut impérativement revenir à l'abstraction puisque c'est bien le lieu de résidence des mathématiques (si je puis dire).

beagle
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Re: Définition des mathématiques

par beagle » 06 Mar 2018, 15:44

Baylock a écrit:Je vous suis totalement car vous avez parfaitement raison.
Mais je pense que je réponds à cela en disant bien qu'on donne du sens physique de manière temporaire pour donner prise MAIS qu'il faut impérativement revenir à l'abstraction puisque c'est bien le lieu de résidence des mathématiques (si je puis dire).


Ma réponse sur l'abstraction vaut ce qu'elle vaut sachant que je ne suis pas mathématicien et que donc je parle de maths jusqu'au lycée, mais ce que je crois comprendre est ceci:
l'abstraction souvent se construit sur une base physique, sur une base-support d'exemple, et cela devient abstraction lorsque je peux plaquer sur ce support , je peux plaquer à la fois et en même temps:
-c'est idem à parce que ...
-tout en étant différent sur le point...

Bref, pour les enfants en primaire en difficultés en maths, de ceux que j'ai un peu appris à connaître, la mémoire de travail ne peut pas fonctionner car il ne peut pas tenir le macronien "en même temps"
en même temps c'est pareil
en même temps cela en différe sur ...
C'est vrai pour la manipulation de problème, comme c'est vrai pour la mémorisation.
La mémorisation ne pourra se faire car l'enfant ne pourra "allumer simultanément " avec assez de force le c'est pareil et le cela différe.
Prenons un exemple simple l'apprentissage du nombre huit.C'est plein de choses le huit le 4 et encore 4,
c'est le 5 et 3
Mais dans la representation en constellation avec trous,
le 8 est le 10 avec deux trous
le 8 est le 5 et 3
et bien l'enfant en difficulté d'apprentissage est dans une difficulté toute bète de ne pas pouvoir allumer en même temps c'est 5 avec trois avec c'est le 10 deux trous.

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Lostounet
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Re: Définition des mathématiques

par Lostounet » 06 Mar 2018, 16:04

Baylock a écrit:Si on disait de manière claire et en préambule à l'élève que la trigonométrie c'est la manipulation d'objets en vue de résoudre simplement les côtés et les angles de tout triangle et que ce faisant on a la maitrise de la mesure de tout polygone et bien, cela démystifierait grandement le propos.
Ca semble évident pour certains au fur et à mesure de l'apprentissage mais je vous assure que cela échappe à beaucoup.
Cela réduirait le propos en le rendant temporairement utilitaire et au champ d'action très limité mais l'abstraction et la généralisation peut suivre, pas de souci.


Oui, cela échappe à beaucoup et c'est ce qui fait la différence entre ceux qui s'en sortent et ceux qui ont du mal.

Il vaut toujours mieux mettre en contexte ce qui va se faire dans la salle de classe (donc introduire un des intérêts de la trigonométrie, par exemple en physique). D'ailleurs, un bon professeur le fait systématiquement !
Par contre, j'ai du mal à penser que cela sera suffisant pour aider les élèves à faire les liens entre les concepts, pour deux raisons:

1) Il y aura toujours un décalage entre l'introduction (ambitieuse) qu'un professeur pourrait faire et le contenu effectif du cours. Pour en rester à l'exemple de la trigonométrie que l'on commence en 4eme, s'il faut dire "qu'on va se mettre à calculer les longueurs des cotés de tout triangle ce qui peut servir pour faire des calculs en physique" et qu'ensuite on se placera dans tous les exercices "dans des triangles rectangles" uniquement, l’élève qui ne comprenait pas le "concept trigonométrie" peut se demander pourquoi on ne travaille pas avec des triangles non rectangles, sans pouvoir l'extérioriser: pourquoi que dans des triangles rectangles? Dans quelle situation physique on aurait un triangle rectangle ? On n'en voit aucun dans la vie de tous les jours....
Et en première, une fois vue la trigonométrie dans des triangles quelconques, cela fera déjà 3 ans depuis l'introduction de la trigonométrie et le lien entre les deux est peut-être perdu.

2) Il est difficile de trouver une définition absolue des maths, car je trouve qu'il y a plusieurs mathématiques et pas qu'une seule. En tant qu'étudiant, je n'ai pas l'impression de faire le même type de travail/maths en calcul stochastique/probabilités et en algèbre générale, par exemple. Et si maintenant je suis capable de comprendre l'étendue de telle ou telle théorie (par exemple pourquoi on fait d'autres géométries que la géométrie euclidienne), il y avait une époque en sixième, j'avais du mal à comprendre certaines formalisations de la géométrie euclidienne de base: pourquoi a-t-on besoin de prouver que deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles?

Et si ma prof de l'époque m'avait dit qu'on pouvait faire d'autres géométries, j'aurais trouvé cela intéressant mais sans plus: d'ailleurs le temps de comprendre ce qu'elle voulait dire, il se serait déjà écoulé des années...

Je pense que plutôt que d'en rester à des définitions "en amont", les élèves pourraient mieux apprendre s'ils étaient confrontés à des problèmes simples, naturels mais dont ils n'ont pas la réponse: par exemple en spé maths si j'avais à expliquer les congruences à des élèves, je commencerais par les confronter au théorème des restes chinois avec un exemple pratique: si on regroupe en paquet de 6, il reste un. Si on regroupe en paquet de 5 il reste 2. Combien d'objets ai-je à disposition ? Je les laisse réfléchir deux minutes à ce problème en apparence simple et ils ne vont pas y arriver "en bidouillant avec leurs connaissances". Ils vont donc saisir l'importance (au moins partielle) de ce qui va être fait par rapport aux compétences qu'ils ont déjà acquises.

Au collège, il faudrait réfléchir à comment cette méthode pourrait s'appliquer: quand un étudiant voit un problème qu'il n'arrive pas à résoudre mais dont il arrive à comprendre l'énoncé, c'est là qu'il sera plus réceptif !

Donc pour en revenir au sujet initial, je ne pense pas qu'il existe de définition des mathématiques qui soit d'un intérêt pratique pour les enseigner à des élèves.

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Re: Définition des mathématiques

par beagle » 06 Mar 2018, 16:09

On peut se rejoindre il me semble.
J'ai fait des exos avec ma fille du genre dans 524387 quel est le nombre de chiffres du nombre des centaines.
a mes yeux c'est assez stérile,
mais cela satisfait ceux qui veulent donner du sens sémantique, un nombre c'est ça , un chiffre c'est ça...
sauf que là ça tourne vraiment à vide.
Plutot que de donner des noms et vérifier que le nom est appris , compris,
pourquoi ne pas faire cela en situation pratique,
lorsqu'on fait des changements d'unités de mesure, tu vois bien la maitrise du nombre de centaines,...
en npassant de mètre à km ou décimètre.

et tout est idem.
nous avons eu une discussion faut-il apprendre à compter avec les unités
2 fleurs + 3 fleurs = 5 fleurs
bon j'étais plutôt favorable,
mais ensuite j'ai vu Stella Baruk faire alors deux pages d'exos avec des textes: .
c'est du texte en français et il faut trouver les unités.
reponse d'un élèves les unités sont:
heures , kilomètres

bref au moment de l'apprentissage de l'unité c'est vraiment pas le moment de faire du français
dans un texte où figure deux heures, heures n'est pas unité,
l'unité c'est UNE heure, et dans le texte si on veut faire ch..r inutilement il y en a deux des 1 heures.
Bref l'unité elle se montre, l'unité c'est le doigt de la main, sur un dessin de 5 fleurs ben l'unité c'est UNE fleure dessinée, etc...
bref on croit bien faire en définisssant , je vais définir proprement le nombre et le chiffre, je vais définir proprement ce qu'est le mot unité. mais ce ne sont pas des mots!!!!!
Votre: "Mais, en attendant, on a eu quelque chose de tangible auquel se raccrocher " pour moi il est physique en maths.

danyL
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Re: Définition des mathématiques

par danyL » 06 Mar 2018, 19:45

bsr
si j'avais à définir les maths à un public varié je me raccrocherais plutôt au portail des maths de wiki, avec un exemple simple pour chaque branche
https://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:M ... A9matiques

éventuellement parler succintement de l'histoire des maths, au début les systèmes de numération, la géométrie, ...et dater quand chaque branche a pris son essor
https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_ ... A9matiques


ce vieux topic sympa où les gens disent ce qu'ils ressentent pour les mathématiques peut servir de source d'inspiration
cafe-mathematique/par-amour-des-mathematiques-t38780.html

Archytas
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Re: Définition des mathématiques

par Archytas » 11 Mar 2018, 21:08

Si tu veux faire une touche d'humour.
"Les mathématiques sont un couple formé d'un ensemble d'axiomes et d'un ensemble de règles logiques".
Je me décharge de toute responsabilité concernant la cohérence de cette définition et des débats qu'elle pourrait engendrer.

Depuis mon humble point de vue les mathématiques sont une forme épurée de philosophie :
En philosophie on pose une question et chacun définit ses termes pour y répondre. De là plusieurs réponses cohérentes peuvent être apportées à cette question.
En mathématiques les termes sont déjà fixés et ensuite on pose une question (au sein d'une même théorie). Ensuite avec du bol (ou plus formellement une théorie cohérente (corrigez moi si mon vocabulaire bat de l'aile)) une seule réponse peut être apportée.
En voulant aller plus loin et avec la même ligne directrice la physique s'attaque à un problème de, selon moi, plus tenace : les règles existent et il s'agit de les exhiber en posant les bonnes questions.

Sachant que je ne suis ni savant en philosophie, logique ou physique mon avis vaut ce qu'il vaut mais j'ai trouvé le sujet et les réactions suffisamment intéressants pour réagir à mon tour. Du moins le sujet sous-jacent qui est comment ceux qui font des mathématiques perçoivent cette activité (sujet plus subjectif que celui posé à la base).

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Ben314
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Re: Définition des mathématiques

par Ben314 » 11 Mar 2018, 22:33

Salut,
si tout le monde intervient, alors je vais aussi m'y coller et donner mon opinion.
Perso, vu le contexte, le truc qui me parait quand même le mieux (et d'assez loin), c'est le truc de wiki:
Baylock a écrit:"Les mathématiques sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les nombres, les formes, les structures et les transformations. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne."
Il faudrait définir plus avant les mots "objets", "structures", "transformations". Ce qui risque d'impliquer d'autres définitions ultérieures etc...
Et concernant les "objections", mon opinion, c'est que :
- Les objets a mon sens, ben y'a rien à définir vu le divers qu'il y a derrière et surtout vu le tels que ... qui donne une liste de ce que ça peut désigner dans le contexte.
- Les nombres et les formes je trouve ça extrêmement bien, surtout vu le public : les maths., clairement, à un niveau élémentaire c'est quasiment exclusivement du calcul et de la géométrie donc c'est "on ne peut plus parlant" pour le public.
- Les structures, je trouve ça très très bien aussi : normalement c'est quand même pas mal "parlant" pour le commun des mortels, dans le sens que c'est (par exemple) la structure d'un bâtiment (en béton armé ou avec des poutrelles métallique ou je sais pas quoi) en opposition avec "l'enrobage" (utilitaire ou décoratif) qu'on va mettre sur la structure. Mais c'est quand même la structure qui explique pourquoi le bâtiment tient debout. Et d'un autre coté, quand un matheux cherche à dégager les structures d'un ensemble donné (groupe/corps/anneau/e.v., etc...) a mon sens, c'est bien ça qu'on cherche à faire : dégager le "pourquoi" ça tient debout plutôt que de s'arrêter sur "les apparences" : les entiers relatifs et les polynômes à coeff. réels, l'apparence c'est pas la même du tout, mais la structure (anneau euclidien) est la même, un peu comme deux bâtiment qui sont à première vue très différent, mais qui en fait ont tout les deux "la même structure", par exemple "à ossature bois" ou je sais pas quoi d'autre.
Et si tu veut donner un exemple mathématique pour comprendre ce qu'est une "structure", éventuellement (y'a peut-être mieux) tu peut parler des réels (ou "des nombres") et des vecteurs : c'est clairement pas la même chose du tout en apparence, mais si on regarde comment on les ajoute, c'est exactement les mêmes règles qui s'appliquent et tu peut même faire remarque que c'est du fait que c'est les même règle qu'on a fini par donner le même nom (addition) et noter de la même façon (avec un +) des opérations qui ne sont clairement pas les même vu que ça a aucun sens d'ajouter un vecteur avec un réel. Le but étant bien sûr de faire réagir concernant le fait que ce n'est pas parce que ça se note (+) et se prononce (addition) pareil que ça vérifie les même règle mais que c'est évidement "dans l'autre sens" que ça marche : c'est parce que ça vérifie les même règles qu'on a choisi d'appeler et de noter les deux trucs (différents) de la même façon.
- Et Les transformation, pareil (voire encore mieux) : extrêmement "parlant" pour le commun des mortels, dans le sens "un four permet la transformation de pâte à pain en pain" et c'est quasiment "le cœur" des mathématique où presque tout se résume à l'étude et/ou la recherche "d'applications" qui est le mot usité par les matheux pour parler de transformation, mais qui est bien moins "parlant" pour pas mal de personnes. Et concernant des exemples de transformations (simples) en math, c'est pas ça qui manque : des exemples numérique concrets x->f(x) où l'application f transforme la donnée (concrète, avec unité) x en autre chose y, le fait de transformer un dessin en le traçant sur du papier calque puis en déplaçant le calque (=isométrie de R^2) ou en utilisant un truc style pantographe (=homothétie), ect, etc, etc
On peut même donner des exemples très simple de problème où le but est de trouver une transformation qui vérifie certaines propriétés (=donner un exemple physique simple qui correspond à une équation différentielle)

Bref, je le redit, c'est de loin ça qui me semble le plus pertinent.

Et d'un autre coté, il y a aussi le fait que des trucs comme ton point 4. :
"Les mathématiques sont un ensemble de règles qui découlent d'un ensemble limité d'axiomes (énoncés que l'on considère comme vrais"
Autant, sur le principe c'est plus ou moins vrai, autant dans la pratique, c'est quand même on ne peut plus réducteur :
- Si tu interroge des chercheurs en math. aujourd'hui et que tu leur demande "quel est le système d'axiome que vous utilisez dans votre recherche", ben je sais pas si tu aura toujours des réponse bien pertinentes (pose par exemple la question à... un statisticien... juste pour voir)
- Historiquement parlant, à part LA exception que constitue Euclide et ces "éléments" (et encore, quand il l'a écrit, y'a un paquet considérable de trucs qui avait déjà été démontré et qu'il a eu qu'à recopier en remplaçant les "il est évident que" par des "il découle de l'axiome bidule que"), ben sinon, la grande majorité des maths s'est faites sans axiomes, mais avec "du bon sens" (jusqu'à ce que, avec que "du bon sens" on tombe sur plein de paradoxes et qu'on soit obligé de faire le ménage : c'était plus ou moins vers le milieu/fin du 19em siècle qu'on a commencé à voir qu'il fallait clarifier le truc mais il y a évidement un paquet CONSIDÉRABLE de trucs qui ont été démontré avant)
- Pour le "commun des mortels" (et les élèves jusqu'à au moins un BAC+2 ou 3), cette histoire d'axiomes, je suis pas sûr que ce soit bien pertinent. Par exemple, le fait qu'il faille démontrer des trucs du style "A+B=B+A" (pour des bètes entiers naturels) ou que "si l'ensemble A est contenu dans B fini alors A est fini et il a moins d'élément que B" (avec une définition "carré carré" de ce que désigne les vocables "fini" , "contenu" et "nombre d'éléments"), ben je sais pas si c'est malin d'en parler trop tôt, non ?
Modifié en dernier par Ben314 le 12 Mar 2018, 13:43, modifié 1 fois.
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Re: Définition des mathématiques

par pascal16 » 12 Mar 2018, 10:48

"Les mathématiques sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les nombres, les formes, les structures et les transformations. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne."

Les mathématiques sont un ensemble de choses que fait intuitivement notre cerveau sans qu'on s'en rende compte.
exemple : comparer la taille d'objets, comparer leur multitude, estimer un poids, un volume avec une base de comparaison propre à chacun.
Les mathématiques à l'école : c'est de mettre les connaissances de chacun en commun pour avoir des notations, des références communes pour aller ensuite plus loin que l'ordinaire.

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Re: Définition des mathématiques

par yavlory » 13 Mar 2018, 19:00

Bonjour

C'est marrant on dirait que les maths sont tout simplement du droit
en maths on a des axiomes et le concept "ensemble"
en science du droit on a des lois et le concept de "norme fondamentale"

Hans Kelsen 1881-1973
https://fr.wikipedia.org/wiki/Hans_Kelsen

je cite un commentaire de son livre
"L’existence d’une science du droit est premièrement conditionnée à l’utilisation de
règles strictes de logique. Si le juriste veut établir une véritable science du droit,
celui-ci doit être considéré comme une unité. Ses contradictions internes doivent
donc être éliminées pour qu’une réelle théorie générale du droit puisse émerger.
Une difficulté apparaît lorsqu’il s’agit de trancher entre deux normes juridiques
divergentes. L’unité du droit n’est possible que si l’une d’entre elles au moins est
éliminée. Pour déterminer celle qui doit être supprimée, Kelsen propose de
chercher laquelle est en contradiction avec les normes de droit les plus générales.
Pour choisir entre deux normes générales, il faut recourir à d’autres plus
universelles encore. Afin d’éviter de remonter ainsi à l’infini, Kelsen est donc
amené à considérer l’existence d’une norme fondamentale permettant de choisir
quelles normes contradictoires éliminer comme une condition nécessaire à
l’existence du droit en tant que science. Si le juriste refusait d’accepter une telle
norme, il ne pourrait trouver une unité dans le droit et serait par conséquent dans
l’impossibilité logique de faire du droit une science véritable."
un bon son qui aide entre deux problèmes de géométrie
Näd Mika - Not Allowed
https://www.youtube.com/watch?v=13kUxgAbdVM

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Re: Définition des mathématiques

par yavlory » 13 Mar 2018, 22:34

bon je quitte ce sujet(définitivement et à contre coeur mais c'est pas mon niveau)
en tout cas je rectifie ce que j'ai dis:

"c'est marrant oui mais il faut le dire très vite....surtout si c'est vrai car je n'ai aucune idée de ce que peut devenir un groupe, un anneau, un espace vectoriel ni de leurs noms en droit"

salut tous !
un bon son qui aide entre deux problèmes de géométrie
Näd Mika - Not Allowed
https://www.youtube.com/watch?v=13kUxgAbdVM

 

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