Vecteurs propres et boite englobante

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un petit problème :

Soit un objet constitué de points (à coordonnées entières et
positives) voisins.

Je souhaite connaitre les coordonnées du rectangle englobant
orienté relatif à l'objet.
La méthode que j'ai trouvé en ligne utilise le calcul de vecteurs
propres pour connaitre les axes directeurs de l'objet.

(cf. membres.lycos.fr/javamus/articles/obb.pdf page 5-6 et
http://www.essi.fr/~buffa/cours/synthese_image/PROJETS/2000/GestionCollisions3DX3D_Gourdin/rapport%20d%E9finitif.htm

chapitre 3 : "boite englobante non alignée aux axes")


Voici la methode :

Soit m2_x le moment d'ordre 2 en x : la variance en x
Soit m2_y le moment d'ordre 2 en x : la variance en y
Soit m2 la covariance.

Pour déterminer les axes directeurs de l'objet, il faut
calculer les vecteurs propres de la matrice de covariance

| m2_x m2 |
C = | |
| m2 m2_y |

Soit dans un premier temps les valeurs propres Lambda1
et Lambda2 de la matrice.

Pour obtenir les coordonnées du vecteur colonne (x, y)
relatif a la valeur propre Lambda (1 ou 2) on résout
le système suivant :

(m2_x - Lambda) . x + m2 . y = 0
m2 . x + (m2_y - Lambda) . y = 0


Ma question est toute bete :
1) Ce systeme a-t-il toujours une solution?
2) La solution est-elle unique?
3) Peut-on avoir m2 = 0 ?
4) Comment résoudre ce système correctement ?

Merci pour vos réponses éclairantes...

Fanny

[Anonyme]

On Thu, 02 Sep 2004 17:52:31 +0200, fanny & michou
wrote:

>Bonjour,
>
>J'ai un petit problème :
>
>Soit un objet constitué de points (à coordonnées entières et
>positives) voisins.
>
>Je souhaite connaitre les coordonnées du rectangle englobant
>orienté relatif à l'objet.
>La méthode que j'ai trouvé en ligne utilise le calcul de vecteurs
>propres pour connaitre les axes directeurs de l'objet.
>
>(cf. membres.lycos.fr/javamus/articles/obb.pdf page 5-6 et
>http://www.essi.fr/~buffa/cours/synthese_image/PROJETS/2000/GestionCollisions3DX3D_Gourdin/rapport%20d%E9finitif.htm
>
>chapitre 3 : "boite englobante non alignée aux axes")
>
>
>Voici la methode :
>
>Soit m2_x le moment d'ordre 2 en x : la variance en x
>Soit m2_y le moment d'ordre 2 en x : la variance en y
>Soit m2 la covariance.
>
>Pour déterminer les axes directeurs de l'objet, il faut
>calculer les vecteurs propres de la matrice de covariance
>
> | m2_x m2 |
>C = | |
> | m2 m2_y |
>
>Soit dans un premier temps les valeurs propres Lambda1
>et Lambda2 de la matrice.
la matrice étant symétrique ses valeurs propres sont réelles
et elle est même diagonalisable
>Pour obtenir les coordonnées du vecteur colonne (x, y)
>relatif a la valeur propre Lambda (1 ou 2) on résout
>le système suivant :
>
>(m2_x - Lambda) . x + m2 . y = 0
> m2 . x + (m2_y - Lambda) . y = 0
>
>
>Ma question est toute bete :
>1) Ce systeme a-t-il toujours une solution?
oui il a toujours une solution
diff de (0,0) parceque justemment lamdda est valeur propre
>2) La solution est-elle unique?
non si(x,y) est solution , forcément (kx,ky) l'est
>3) Peut-on avoir m2 = 0 ?
si les 2 va sont indépendnates
>4) Comment résoudre ce système correctement ?
si tes 2 valeurs propres sont diff
chaque systéme a une infinité de solutions mais
dépendant d'un seul paramétre : donc il suffit d'en choisir une
(diff de (0,)) pour avoir la direction de chaque axe
>Merci pour vos réponses éclairantes...
>
>Fanny
>
>

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Pichereau Alain

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

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[Anonyme]

[color=green]
>>(m2_x - Lambda) . x + m2 . y = 0
>> m2 . x + (m2_y - Lambda) . y = 0
>>[/color]
[color=green]
>>4) Comment résoudre ce système correctement ?
>
> si tes 2 valeurs propres sont diff[/color]
Que se passe-t-il si les valeurs propres sont identiques?
Mon rectangle est aligné aux axes?


> chaque systéme a une infinité de solutions mais
> dépendant d'un seul paramétre : donc il suffit d'en choisir une
> (diff de (0,)) pour avoir la direction de chaque axe

si je choisi x=1, (1,...) avec la premiere equation, j'obtiens
y = (Lambda - m2_x) / m2
avec la deuxieme equation, j'obtiens y = -m2 / (m2_y - Lambda)

est-ce qu'on a forcément TOUJOURS (si m2 = 0)
-m2 / (m2_y - Lambda) = (Lambda - m2_x) / m2

[Anonyme]

On Thu, 02 Sep 2004 19:46:29 +0200, fanny & michou
wrote:

>[color=green][color=darkred]
>>>(m2_x - Lambda) . x + m2 . y = 0
>>> m2 . x + (m2_y - Lambda) . y = 0
>>>[/color]
>[color=darkred]
>>>4) Comment résoudre ce système correctement ?
>>
>> si tes 2 valeurs propres sont diff[/color]
>Que se passe-t-il si les valeurs propres sont identiques?[/color]
pour qu'il en soit ainsi il faut que les 2 variances soient égales et
la co nulle, auquel cas ta matrice est diagonale : tout vecteur est
vecteur propre

>Mon rectangle est aligné aux axes?
je ne peux te répondre n'ayant pas réfléchi au pb initial
>[color=green]
>> chaque systéme a une infinité de solutions mais
>> dépendant d'un seul paramétre : donc il suffit d'en choisir une
>> (diff de (0,)) pour avoir la direction de chaque axe
>
>si je choisi x=1, (1,...) avec la premiere equation, j'obtiens
>y = (Lambda - m2_x) / m2
>avec la deuxieme equation, j'obtiens y = -m2 / (m2_y - Lambda)
>
>est-ce qu'on a forcément TOUJOURS (si m2 = 0)[/color]
? m2 non nul ?
>-m2 / (m2_y - Lambda) = (Lambda - m2_x) / m2
oui, car lambda est valeur propre

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