Matrices régulières et valeurs propres

[Anonyme]

Bonjour,
j'ai un peu de mal avec les problèmes suivants:
soit M une matrice (4x4),
M=[[2,2,2,2][2,2,-2,-2][2,-2,-2,2][2,-2,2,-2]]
Il faut remplacer l'élément de la deuxième ligne et de la quatrième
colonne pour que la nouvelle matrice ne soit pas régulière. Cette
matrice est symétrique mais cela ne me sert à priori à rien pour
répondre à la question posée... Quelle est la méthode à employer?

Ensuite, j'ai C une matrice (nx1) et L une matrice (1xn). Je ne vois
pas comment démontrer que la matrice CL a au plus deux valeurs propres
distinctes.
0 est une valeur propre "triviale" mais cela ne répond pas à la
question...
Merci pour votre aide

[Anonyme]

frenchgrego@yahoo.co.jp (Tonbogreg) wrote:

>Bonjour,
>j'ai un peu de mal avec les problèmes suivants:
>soit M une matrice (4x4),
>M=[[2,2,2,2][2,2,-2,-2][2,-2,-2,2][2,-2,2,-2]]
>Il faut remplacer l'élément de la deuxième ligne et de la quatrième
>colonne pour que la nouvelle matrice ne soit pas régulière. Cette
>matrice est symétrique mais cela ne me sert à priori à rien pour
>répondre à la question posée... Quelle est la méthode à employer?

Calculer le déterminant en remplacant M(2,4) par une variable, disons
x. Ca donne un polynome de degré 1. Alors poser det(M)=0, et
résoudre pour x. C'est facile.

>
>Ensuite, j'ai C une matrice (nx1) et L une matrice (1xn). Je ne vois
>pas comment démontrer que la matrice CL a au plus deux valeurs propres
>distinctes.
>0 est une valeur propre "triviale" mais cela ne répond pas à la
>question...
>Merci pour votre aide

CL est une matrice de projection orthogonale sur le vecteur représenté
par la matrice (nx1). Hors quelles sont les valeurs propres possibles
pour une proj. ortho? 0 en est une pour les vecteurs orthogonaux au
vecteur de la projection. L'autre est 1, pour les vecteurs qui sont
déjà parallèles à ce vecteur.
[Pour démontrer mathématiquement que CL est une projection
orthogonale, calculer le détail de la formule de projection
orthogonale V'=(V.N)V avec V un vecteur quelconque et N le vecteur sur
lequel on fait la projection et V.N est le produit scalaire. Vous
verrez que sous forme matricielle ca peut s'écrire comme V'=(CL)V. ]

[Anonyme]

Sylvain Croussette wrote:

.....
>[Pour démontrer mathématiquement que CL est une projection
>orthogonale, calculer le détail de la formule de projection
>orthogonale V'=(V.N)V avec V un vecteur quelconque et N le vecteur sur

Erreur ici, la formule est V'=(V.N)N / (norme(N))^2

>lequel on fait la projection et V.N est le produit scalaire. Vous
>verrez que sous forme matricielle ca peut s'écrire comme V'=(CL)V. ]

[Anonyme]

Sylvain Croussette wrote in message news:...
> Sylvain Croussette wrote:
>
> ....[color=green]
> >[Pour démontrer mathématiquement que CL est une projection
> >orthogonale, calculer le détail de la formule de projection
> >orthogonale V'=(V.N)V avec V un vecteur quelconque et N le vecteur sur
>
> Erreur ici, la formule est V'=(V.N)N / (norme(N))^2
>
> >lequel on fait la projection et V.N est le produit scalaire. Vous
> >verrez que sous forme matricielle ca peut s'écrire comme V'=(CL)V. ][/color]

Le problème est que je suis en première année et que nous n'avons pas
encore vu les déterminants ni les espaces euclidiens, il faut donc se
débrouiller avec les connaissances de bases sur les matrices et les
définitions des valeurs propres.

[Anonyme]

frenchgrego@yahoo.co.jp (Tonbogreg) wrote:

....

>
>Le problème est que je suis en première année et que nous n'avons pas
>encore vu les déterminants ni les espaces euclidiens, il faut donc se
>débrouiller avec les connaissances de bases sur les matrices et les
>définitions des valeurs propres.

Bon on utilise seulement la définition des valeurs prores:
Question 1:
M := matrice([[2, 2, 2, 2], [2, 2, -2, x], [2, -2, -2, 2],
[2,-2,2,-2]])
Si M est non régulière alors elle a au moins une valeur propre à zéro.

Polynome caracteristique de M: k^4-28*k^2+2*x*k^2+192-32*x=0
Pour qu'une des valeurs propres soit zéro(k=0), il faut que 192-32*x=0
donc x=6 fait en sorte que M est non régulière.

Question 2:
en dim 4 par exemple:
C=colonne(a,b,c,d), L=ligne(a,b,c,d),
CL:= matrice([[a^2, a*b, a*c,a*d], [a*b, b^2, b*c,b*d],
[a*c, b*c, c^2,c*d], [a*d,b*d,c*d,d^2]])

Son poly car est k^4-k^3*d^2-c^2*k^3-b^2*k^3-a^2*k^3
Ses racines (les valeurs propres) sont 0, 0, 0, a^2+b^2+c^2+d^2
Donc il y a au plus 2 val propres distinctes.
En d'autres dim ce sera la même chose mais avec des 0 comme valeurs
propres en plus ou en moins.