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Un triplet pythagoricien est un triplet (x,y,z) d'entiers naturels non nuls tels que x²+y²=z²
Objectif : Pour tout entier naturel non nul x donné, peut-on trouver y et z tel que (x,y,z) soit un triplet pythagoricien.
1. On cherche à déterminer des triplets tels que z=y+1
a) Montrer que y et z n'ont pas de diviseur commun autre que 1
b) Exprimer x² en fonction de y, puis y et z en fonction de x.
c)En déduire l'existence d'un triplet primitif pour x impair supérieur à 1.
NB : On appelle triplet primitif n triplet (x,y,z) tels que x,y et z n'aient pas de diviseurs communs
2. Soit x un entier naturel supérieur à 2
a) Si x n'est pas une puissance de 2, alors x peut s'écrire sous la forme
b) Si x est une puissance de 2 supérieure à 2, alors
3. Que peut on conclure sur le problème posé ?
4.Déterminer un triplet pythagoricien pour x=2013 et pour x= 2014
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Le 1. ne me pose pas de problème si ce n'est que je ne comprends pas l'utilité de la a). Ou plutôt, je sais que je dois réutiliser le fait que 1 est le PGDC de y et z dans la 1.c mais je ne vois pas où...
C'est surtout pour le 2. que je bloque, suffit-il de remplacer x par
Je ne demande qu'une petite piste pour comprendre, merci à tous
