Décodade (chiffrement affine) spé Maths (Tle)

[lesmathsenfolie]

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire consistant en un décodage, par chiffrement affine.
L'énoncé est le suivant : "La fonction de codage est définie par la fonction f qui à x associe 21x + 11."

Je rencontre plusieurs difficultés...

1) Il s'agit de coder le mot "INFINI".

J'ai donc calculé, à l'aide du numéro de lettre x (A=0, B=0, ... , Z=25) 21x+11 et j'ai considéré que la lettre codante y était le reste de la division euclidienne de 21x+1 par 26. Est-ce la bonne démarche ?

2) Dans la question suivante, on me propose de chercher la fonction de décodage. On cherche donc x tel que 21x + 11 = y soit 21x = y - 11 = z.

Je dois démontrer que 21x congru à z modulo 26 équivaut à x congru à 5z modulo 26.

Pour ce faire, j'ai simplement calculé le reste de la division euclidienne de 21*5 par 26 pour pouvoir faire ma démonstration après mais je ne sais pas si ce simple calcul effectué à la calculatrice est suffisamment "scientifique".

3) Dans la question suivante, je dois en déduire que la fonction de décodage est définie par y -> x = 5y+23.

Avec une autre méthode étudiée en classe, je trouve : x congru à 5(y-11) (26) et je sais décoder avec ça mais j'aimerais trouver la réponse exacte demandée. Comment procéder ?

Merci beaucoup,
Lesmathsenfolie

[Ben314]

Salut,

J'ai donc calculé, à l'aide du numéro de lettre x (A=0, B=0, ... , Z=25) 21x+11 et j'ai considéré que la lettre codante y était le reste de la division euclidienne de 21x+1 par 26. Est-ce la bonne démarche ?

A priori oui, mais normalement, le "modulo 26" (i.e. le fait qu'on prend le reste de la division par 26) devrait apparaitre quelque part dans l'énoncé.

Je dois démontrer que 21x congru à z modulo 26 équivaut à x congru à 5z modulo 26.
Pour ce faire, j'ai simplement calculé le reste de la division euclidienne de 21*5 par 26 pour pouvoir faire ma démonstration après mais je ne sais pas si ce simple calcul effectué à la calculatrice est suffisamment "scientifique".

A mon avis, le problème, c'est pas du tout de savoir si c'est à la main ou à la machine que tu as trouvé le reste de la division de 21*5 par 26. Le problème, c'est de savoir si, sachant que ce fameux reste vaut 1, est tu capable ou pas de démontrer l'équivalence demandé ?

3) Dans la question suivante, je dois en déduire que la fonction de décodage est définie par y -> x = 5y+23.
Avec une autre méthode étudiée en classe, je trouve : x congru à 5(y-11) (26) et je sais décoder avec ça mais j'aimerais trouver la réponse exacte demandée. Comment procéder ?

Ben c'est con comme la lune : toi tu trouve 5(y-11) donc 5y-55 [26] et tu te demande si c'est la même chose que 5y+23 [26]. Est ce que -55=+23 [26] ?

[lesmathsenfolie]

Pourtant ça n'apparaît nulle part dans l'énoncé... Mais je ne verrai pas comment faire autrement ceci dit...

Oui la démonstration est réussie, je ne savais juste pas si c'était plus "correct" de justifier avec un calcul à la main ou si le calcul à la machine suffit, mais c'est un détail.

J'avoue que je n'ai pas compris la dernière explication je dois prouver que -55 est congru à 23 modulo 26 ?

[Ben314]

Ce que je dit, c'est que, pour que les deux réponses que tu donne, à savoir 5y-55 [26] et 5y+23 [26] soient les mêmes, il faudrait que -55=+23 [26].
Et comme c'est effectivement vrai (pourquoi ?) c'est bien deux fois la même réponse (donc c'est sans doute la bonne réponse).

[lesmathsenfolie]

D'accord, je crois avoir saisi ! Merci beaucoup