Triplets pythagoriciens

[jacob]

"Étudier les solutions entières de l'équation x²+y²=z² revient à chercher tous les triangles rectangles dont les longueurs de côtés sont des entiers, la variable z correspondant à l'hypoténuse.
En l'honneur du mathématicien grec Pythagore, on appelle triplet pythagoricien un triplet d'netiers positifs (u,v,w) tels que x=u, y=v et z=w constituent une solution de cette équation.

1.Démontrer que si (u,v,w) est un triplet pythagoricien alors pour tout relatif k, le triplet (ku,kv,kw) l'est également.

2.Soit x un entier impair supérieur à 1. On cherche à déterminer les triplets tels que z=y+1.
a)Démontrer que y et z n'ont pas de diviseur commun autres que 1.
b)Exprimer x² en fonction de y puis y et z en fonction de x.
c)En déduire l'dxistence d'un triplet pythagoricien pour tout x impair supérieur à 1.


3.Soit x un entier naturel supérieur à 2.
a)Si x n'est pas une puissance de 2 alors on admet que x peut s'écrire sous la forme 2n*a avec a impair et différent de 1. En déduire un triplet pythagoricien (x;y;z)
b)Si x est une puissance de 2 supérieure à 2 alors on admet que x est un multiple de 4. En déduire un triplet pythagoricien (x;y;z).

4.Grâce aux questions précédentes, conclure quant à l'existence d'un triplet pythagoricien pouru n entier naturel quelconque."


Bonjour,

J'ai réussi les questions 1) et 2)a)&b) cependant je ne parviens pas à répondre aux questions 2)c) et 3), j'aimerai savoir si quelqu'un pourrait me donner une piste afin de me débloquer, merci.

[jlb]

As-tu trouvé que x² = 1 + 2y? Du coup, tu trouves facilement l'expression de y puis celle de z!