Triplets Pythagoriciens

[Ketrimoner]

Bonsoir à tous, je bloque sur la troisième partie d'un DM de spe maths portant sur les triplets pythagoriciens. Après avoir créé un tableur sur Excel et émis une conjecture, je dois répondre aux questions suivantes:
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Un triplet pythagoricien est un triplet (x,y,z) d'entiers naturels non nuls tels que x²+y²=z²
Objectif : Pour tout entier naturel non nul x donné, peut-on trouver y et z tel que (x,y,z) soit un triplet pythagoricien.

1. On cherche à déterminer des triplets tels que z=y+1
a) Montrer que y et z n'ont pas de diviseur commun autre que 1
b) Exprimer x² en fonction de y, puis y et z en fonction de x.
c)En déduire l'existence d'un triplet primitif pour x impair supérieur à 1.

NB : On appelle triplet primitif n triplet (x,y,z) tels que x,y et z n'aient pas de diviseurs communs

2. Soit x un entier naturel supérieur à 2
a) Si x n'est pas une puissance de 2, alors x peut s'écrire sous la forme (2^n)*x' avec x' impair différent de 1. En déduire un triplet (x,y,z).
b) Si x est une puissance de 2 supérieure à 2, alors est un multiple de 4. En déduire un triplet (x,y,z).

3. Que peut on conclure sur le problème posé ?
4.Déterminer un triplet pythagoricien pour x=2013 et pour x= 2014

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Le 1. ne me pose pas de problème, c'est simplement le 2 qui me pose problème, et je me doute que la 3 est gagnée après la 1 et la 2....

[pascal16]

a) Si x n'est pas une puissance de 2, alors x peut s'écrire sous la forme x avec impair différent de 1

il manque un morceau de phrase

[Ketrimoner]

Corrigé !!

[pascal16]

dans le 2, je pense que x est pair, car sinon, on ne peut pas séparer en 2 sous cas où x est pair

juste avec x pair
x²=(2*x')²= 4x'² = 2x'² + 2x'²
découpe bien ta puissance de 2 pour le cas général

[Ketrimoner]

Vous n'auriez pas de pistes plus concrètes, je suis dessus depuis hier et là je commence à saturer

[pascal16]

x= (2^n)*x'
le n n'est pas pris au hasard, c'est le plus grand n possible (celui de la décomposition en facteur premier) et comme x est pair, n>=1.

x²=(2^2n)*(z'² - y'²) d'après la partie 1
x²=(2^2n)*z'² - (2^2n)*- y'²
x²= (z'*2^n)²- (y'*2^n)²
le triplet n'est donc pas primitif

pour x=2014, c'est 2*1007 donc n=1
x'=1007
y'=(x²-1)/2 = 507024 et z' = 507025
z=2z'=1 014 048
y=2y²=1 014 050