Suites

[youkef-sne]

Bonjour, j'ai un exo que je n'arrive pas totalement à faire. Je vous présente l'énoncé et je vous montre mes écrits:
Soita un entier strictement positif et e (=epsilon) un réel tel que 0<e<1
1) calculer lim (n -> +inf) [[n^a]/[(n+1)^a]]
2) Montrer que cette suite est minorée par 1-0.5e à partir d'un certain rang.
3) Pour tout n>=1, on pose U(n)=((1+e)^n)*(n^a). Montrer que la suite U(n+1)/U(n) est minorée par (1+e)(1-0.5e) à partir d'un certain rang.
En déduire que (Un) tend ver +inf

Ce que j'ai fais
1) Premier cas: Si a = 1, on a: n/(1+n) = 1/(1+1/n) et donc lim (n -> +inf) [[n^a]/[(n+1)^a]] = 1
Deuxième cas: Si a>1, on a: (n^a/((n+1)^a) = [exp(a*ln(n))]/[exp(a*ln(n+1))]
= exp(a*ln(n)-a*ln(n+1))
=exp[a(ln(n)-ln(n+1))]
=exp(a*ln(n/(n+1)))
Comme n+1>n, alors ln(n/(n+1)) tend vers 0 en +infini.
Donc a*ln(n/(n+1)) tend vers o en +infini
Donc j'en déduis que la suite tend vers e^0=1 en +infini.
Je pense que c'est juste mais je ne sais pas trop en fait

2) Démontrons que (n^a)/((n+1)^a) < 1-0.5e (e=epsilon) est équivalent à dire que
(n^a)/((n+1)^a) -1+0.5e < 0
<=> [2n^a - 2((n+1)^a) + e((n+1)^a)]/[2((n+1)^a)] < 0 (J'ai tout réduit au même dénominateur)
Mais après la je suis bloqué je ne sais pas quoi faire ni si j'ai pris la bonne méthode

3) Et la boum j'ai pas d'idée

Merci bien de vouloir m'aider

[zygomatique]

salut

il n'est pas nécessaire de distinguer le cas a = 1





or 1 - 1/(n + 1) --> 1 donc ln (v_n) --> 0 donc v_n --> 1

est largement suffisant ....


la fonction est croissante sur

or n --> 1 - 1/(n + 1) est aussi croissante donc n --> v_n est croissante .... et tend vers 1 ....

....

[aymanemaysae]

1 ) On a le développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 de avec a > 0 comme suit:

,

donc

.

2 ) Vous avez montré que ,

donc

,

ceci pour quelconque strictement positif , et en particulier pour un tel que vous aurez .

Je m'arrête là, sinon l'épée des gardiens de la Charte va sévir.

[youkef-sne]

D'accord il y a juste un point que j'ai pas compris: Pourquoi epsilon doit-il a ]0,1[ ?
Pour la troisième question, voila ce que j'ai fais: on a V(n) = ((1+e)^n)/(n^a).
D'ou V(n+1)=((1+e)^(n+1))/((n+1)^a)
Je fais donc: V(n+1)/V(n)= [((1+e)^(n+1))/((n+1)^a)] / [((1+e)^n)/(n^a))]
= [((1+e)^(n+1))*n^a]/[((n+1)^a)*((1+e)^n)]
= [(1+e)^n * n^a]/[(n+1)^a]
=[(n^a)/((n+1)^a)]*(1+e)^n
On a donc prouvé précédemment que [(n^a)/((n+1)^a)] était minoré par 1-0.5e; il sufit de monter que (1+e)^n est minorée par 1+e, et en combinant ces deux minorations, on en déduit que V(n+1)/V(n) est minorée par (1-0.5e)(1+e).
Mais mon problème, c'est que je ne sais pas comment démontrer que (1+e)^n est minorée par 1+e.
J'ai pensé à étudier la limite en -infini de (1+e)^n mais est-ce la bonne méthode ?

[Manny06]

il suffit d'utiliser 1+e >1

[youkef-sne]

Ouai d'accord mais: si 1+e >1, alors (1+e)^n>1^n=1 mais en quoi avec sa je peu montrer que 1+e<(1+e)^n ?

[zygomatique]

pourquoi 0 < e < 1 :

parce que : 0 < v_n < 1 ....

donc si on veut que 1 - e/2 < v_n < 1 faut que e soit "pas trop grand .....

de toute façon avec e > 2 ça devient trivialement vrai .....

[youkef-sne]

D'accord zygomatique mais je parle pour la troisième question, j'ai compris le raisonnement pour la deuxième question mais c'est la troisième que je n'y arrive pas trop

[zygomatique]

déjà que vaut u(n+1)/u(n) ?

[youkef-sne]

Non c'est V(n+1)/V(n) et: V(n+1)/V(n)=[(n^a)/((n+1)^a)]*(1+e)^n.
Or on a prouvé que [(n^a)/((n+1)^a)] était minorée par 1-0.5e

[zygomatique]

faux ....

[youkef-sne]

Pourquoi c'est faux ? Alors la je ne comprend plus rien car si je reprend, on a V(n) = ((1+e)^n)/(n^a).
D'ou V(n+1)=((1+e)^(n+1))/((n+1)^a)
Je fais donc: V(n+1)/V(n)= [((1+e)^(n+1))/((n+1)^a)] / [((1+e)^n)/(n^a))]
= [((1+e)^(n+1))*n^a]/[((n+1)^a)*((1+e)^n)]
= [(1+e)^n * n^a]/[(n+1)^a]
=[(n^a)/((n+1)^a)]*(1+e)^n et si c'est faux, je suis complètement perdu

[aymanemaysae]

et , donc :





.