Comment définir le concept d'intégrale ?

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eldten
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Comment définir le concept d'intégrale ?

par eldten » 19 Juin 2016, 16:49

Bonjour,

Une question un peu particulière; en effet, j'aimerais savoir s'il est possible de développer le concept d'intégration sans utiliser les méthodes "classiques" qu'on peut retrouver dans les intégrales de Riemann ou de Lebesgue qui utilisent les fonctions en escalier, le pavage ... et cela pour des fonctions réelles et continues.

Bref, en tout et pour tout, est-il possible d'approcher le concept d'aire sans procéder à ces charcutages ? :hehe:


En vous remerciant,

eldten



Robot

Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par Robot » 19 Juin 2016, 17:10

A mon tour, une question : pourquoi appelles-tu ça des charcutages ? Et qu'est-ce qui ne serait pas du "charcutage", à tes yeux ?

eldten
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Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par eldten » 19 Juin 2016, 18:18

Charcutage simplement parce qu'on découpe l'aire dont on veut savoir la mesure. :)
Je trouve ce concept impropre en fait parce qu'on se sert de calculs d'aires de polygones connus quand bien même on n'a pas défini rigoureusement ce qu'était une aire ou alors cela est fait par intégrale et là c'est le chien qui se mord la queue ...

J'aimerais savoir si il existe une solution plus élégante pour la définition d'intégration ou, a contrario, une définition formelle, rigoureuse - bourbakiste dirais-je même - de l'aire qui n'emploie pas la notion d'intégrale.

Il est plus ou moins aisé de faire des calculs d'aires infinitésimaux sur les polygones convexes, mais là encore ce n'est que des cas particuliers.

Voilà voilà, en espérant obtenir une réponse !

Romy
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Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par Romy » 19 Juin 2016, 18:38

Lis là : Intégration Chap. III Intégrale et mesure (http://archives-bourbaki.ahp-numerique.fr/items/show/518).

Sinon : sans la mesure ou la notion d'une série sommable, il te reste à interpréter le « volume » d'un domaine « simple » de dimension n (ou son hypervolume (en) si n > 3) comme l'intégrale d'une fonction de n – 1 variables.

Robot

Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par Robot » 19 Juin 2016, 22:12

Ton histoire me semble un peu vaine. Je ne vois toujours pas quel est ton problème, par exemple avec la définition de la mesure de Lebesgue.

Romy
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Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par Romy » 19 Juin 2016, 23:03

Si ∫ |f| est finie, alors f est dite intégrable et ∫ f+ et ∫ f– sont finies en donnant un sens à la définition : ∫ f = ∫ f+ – ∫ f–

Skullkid
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Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par Skullkid » 20 Juin 2016, 12:29

Bonjour, comme Robot j'ai un peu de mal à comprendre ce qui gêne. Les définitions qui reposent sur une affirmation du type "je sais définir X dans un cas simple, je sais accéder au cas général en tant que limite du cas simple et X se comporte bien en passant à la limite" sont présentes partout en analyse, donc si c'est cette démarche qui pose problème, t'es pas sorti de l'auberge...

Après il y a peut-être un moyen de définir l'intégrale par ses propriétés et son action sur une certaine classe de fonctions (du genre, si on fixe l'intervalle d'intégration, c'est la seule forme linéaire qui agit comme on s'y attend sur les fonctions en escalier ?), mais je vois pas comment se passer du choix d'un cas "simple" à la base.

Sinon Romy = JackeOLantern ? :o

eldten
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Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par eldten » 20 Juin 2016, 14:47

Tout d'abord, je vous remercie pour vos réponses et l'intérêt que vous portez au sujet.

Lis là : Intégration Chap. III Intégrale et mesure (http://archives-bourbaki.ahp-numerique. ... s/show/518).


Je n'ai - malheureusement - pas les connaissances nécessaires à la compréhension du papier (je ne suis qu'en L1), mais ayant les bourbaki sous la main, j'ai feuilleté l'introduction sur l'intégration et il s'avère que les premières constructions se font encore une fois avec la "méthode des rectangles" ou une approche similaire, ce que j'ose appeler charcutage.

Je comprends les démonstrations toutefois et là n'est pas le problème, ce qui me dérange fortement en revanche c'est de ne voir, nul part, quelconque définition mathématique de l'aire et les quelques essais que j'ai pu entrevoir construisaient la définition à partir des intégrales.

Or, jusqu'à maintenant, je n'ai vu qu'une construction de l'intégration par la méthode des rectangles ou simile. Et là se pose le problème suivant, pour moi: il y a comme une boucle redondante de démonstration où les intégrales définissent des mesures de l'aire, par exemple, et l'aire permet une approche/construction de l'intégration en utilisant des polygones dont on connaît les formules d'aire.

Or on peut aisément aboutir à des formules sur les polygones connus. Par exemple, j'ai cherché à définir l'aire d'un polygone régulier et convexe en n'utilisant pas la méthode par pavage; je la trouve impropre, parce qu'on utilise le fait qu'un carré de côté = 1 a une aire qui vaut 1, et l'on s'en sert comme étalon mais encore une fois, il me semble qu'il manque ici et là de rigueur mathématique, tout est fait par intuition, sans démonstration, usant du concept d'aire sans l'avoir défini. J'ai donc eu l'idée de sommer les périmètres successifs des polygones "contenus" dans celui dont je voulais savoir l'aire mais n'étant pas un habitué des calculs infinitésimaux et de l'étude des suites, je suis tombé sur quelques absurdités. Passons; quand bien même je retrouverais la formule du calcul d'aire, il ne s'agit là que d'une résolution particulière et non pas d'une définition.

Dans la mesure de Lebesgue il me semble que là aussi le concept de volume est approché par intuition.

Pardonnez moi si je dis des imbécilités, je cherche à comprendre et ai du mal à considérer que le concept d'aire ou de volume ne soit pris qu'à l'état d'axiome. N'ayant pas encore toutes les connaissances nécessaires, si vous voyez une réponse possible, essayez de me l'expliquer svp :gene:

Merci encore, bonne journée

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Lostounet
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Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par Lostounet » 20 Juin 2016, 15:16

Skullkid a écrit:
Sinon Romy = JackeOLantern ? :o


Haha je vais vérifier une fois chez moi ;)
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Robot

Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par Robot » 20 Juin 2016, 16:09

Dans la mesure de Lebesgue il me semble que là aussi le concept de volume est approché par intuition.


Tu te trompes, la définition en est tout à fait axiomatique, et n'utilise pas d'intégrale.

Tu te fais des idées parce que tu ne connais pas assez de choses. Prends patience, tu apprendras.

lionel52
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Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par lionel52 » 20 Juin 2016, 16:09

Là où tu te méprends c'est que la notion d'aire est antérieure à celle d'intégrale.
Si tu définis l'aire d'un rectangle par Longueur*Largeur (ou même mieux, celle d'un triangle rectangle par longueur*largeur/2 puisque tu obtiens directement l'aire de rectangles ensuite) donc tu peux ainsi définir l'aire d'une union disjointe de triangles rectangles, et tu es en mesure, par passage à la limite de définir l'aire de la plupart des surfaces.

Mais il n'est pas question de définir la notion d'aire par une intégrale

Sylviel
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Re: Comment définir le concept d'intégrale ?

par Sylviel » 20 Juin 2016, 20:03

Pour développer un peu ce que dis Robot. Dans la construction standard de l'intégrale de Lebesgue on procède ainsi :
- on définit ce qu'est une mesure de manière axiomatique
- on se dit que si on veut que la mesure coïcide avec l'aire au sens géométrique ce serait bien que la mesure d'un segment [a,b] vaillent b-a, et cela défini une mesure de Borel.
- puis on complète un peu (pour la définir sur des ensembles plus tordus que les Borelliens) pour atteindre Lebesgue.

Il n'y a donc pas de "charcutage" dans la construction...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

 

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