Tout d'abord, je vous remercie pour vos réponses et l'intérêt que vous portez au sujet.
Je n'ai - malheureusement - pas les connaissances nécessaires à la compréhension du papier (je ne suis qu'en L1), mais ayant les bourbaki sous la main, j'ai feuilleté l'introduction sur l'intégration et il s'avère que les premières constructions se font encore une fois avec la "méthode des rectangles" ou une approche similaire, ce que j'ose appeler charcutage.
Je comprends les démonstrations toutefois et là n'est pas le problème, ce qui me dérange fortement en revanche c'est de ne voir, nul part, quelconque définition mathématique de l'aire et les quelques essais que j'ai pu entrevoir construisaient la définition à partir des intégrales.
Or, jusqu'à maintenant, je n'ai vu qu'une construction de l'intégration par la méthode des rectangles ou
simile. Et là se pose le problème suivant, pour moi: il y a comme une boucle redondante de démonstration où les intégrales définissent des mesures de l'aire, par exemple, et l'aire permet une approche/construction de l'intégration en utilisant des polygones dont on connaît les formules d'aire.
Or on peut aisément aboutir à des formules sur les polygones connus. Par exemple, j'ai cherché à définir l'aire d'un polygone régulier et convexe en n'utilisant pas la méthode par pavage; je la trouve impropre, parce qu'on utilise le fait qu'un carré de côté = 1 a une aire qui vaut 1, et l'on s'en sert comme étalon mais encore une fois, il me semble qu'il manque ici et là de rigueur mathématique, tout est fait par intuition, sans démonstration, usant du concept d'aire sans l'avoir défini. J'ai donc eu l'idée de sommer les périmètres successifs des polygones "contenus" dans celui dont je voulais savoir l'aire mais n'étant pas un habitué des calculs infinitésimaux et de l'étude des suites, je suis tombé sur quelques absurdités. Passons; quand bien même je retrouverais la formule du calcul d'aire, il ne s'agit là que d'une résolution particulière et non pas d'une définition.
Dans la mesure de Lebesgue il me semble que là aussi le concept de volume est approché par intuition.
Pardonnez moi si je dis des imbécilités, je cherche à comprendre et ai du mal à considérer que le concept d'aire ou de volume ne soit pris qu'à l'état d'axiome. N'ayant pas encore toutes les connaissances nécessaires, si vous voyez une réponse possible, essayez de me l'expliquer svp
Merci encore, bonne journée