Fonction

Bonjour tout le monde ,

J'ai une question assez délicate à poser, et surtout au niveau de la démonstration,
Soit une fonction croissante montrer qu'il existe [0,1] tel que

Je signale que cette question, peut être faite très rapidement et avec élégance si on a quelque notions de topologie ( connexité, réuinion de deux ouverts enfin j'essais de lire le programme de licence) donc étant donner qu'on a pas le droit d'utiliser ça car je suis en DEUG, vos idées élémentaires sont vraiment les bienvenues ..
Merci beaucoup à tous ceux qui vont m'aider :++:

Bonjour,
il ne manquerait pas par hasard l'hypothèse de continuité?!
En effet, la fonction est un contre-exemple...

Oups! J'ai oublié la croissance... :briques:

Par l'absurde, on partitionne [0,1] en I et J selon que f(x)>x ou f(x)I et J sont non vides (évident).
On prend la borne sup A de I et on regarde si A est dans I ou pas. Tu devrais pouvoir mettre à jour une contradiction.

donc par absurde , on suppose qu'il n' a pas de solution tel que est un point fixe dans ..
on commence par partitionner en I et J selon que f(x)x .. vous aurriez un exemple ?
Merci ..

C'est un exercice un peu subtil et je ne pense pas qu'on puisse faire beaucoup plus simple .
I est l'ensemble des réels x de [0,1] tels que f(x)>x.
On suppose que f n'a pas de point fixe.
Alors donc I est non vide; de plus I est majoré par 1, donc I possède une borne supérieure A.
Il est clair que I est stable par f car entraîne f(x)>x, donc par croissance de f, , mais f(x) n'est pas fixé par f, donc l'inégalité précédente est stricte. Par conséquent .
Qu'en est-il de A?
Si , alors f(A)>A et , ce qui est absurde pour la borne sup de I.
Donc A n'est pas dans I, donc f(A)t et f(t)t (clairement absurde).

Raisonnement très élégant .. un grand bravo yos .. que pense tu de ce raisonnement ..

Soit f: [a,b]->[a,b]. (par absurde comment toi d'ailleurs)
Supposons que f n'a pas de point fixe.

Considérons E = {c [a,b] tq pour tout x [a,c], f(x)>x}.
E est une partie non vide de R (a est dedans puisque f(a)>a) et majorée par b.
Donc E admet une borne sup c.

Notons e = f(c) - c.

1er Cas e > 0 implique f(c)>c:
(NB: on a alors c 0).
On a x>c et f(x) a)

Soit x dans [c+e,c[ inter [a,b] (non vide car c > a). On a f(x) > x > c+e = f(c) (car c=sup E).
Ainsi xf(c) donc f n'est pas croissante sur [a,b].

Dans tous les cas f n'est pas croissante.
D'où par contraposition f croissante => f a un point fixe.

tu peux prendre [a,b]=[0,1] mais je ne vois pas du tout pourquoi on ne peut pas le généraliser même si la fonction n'est pas continue ?

Les idées sont les mêmes. Ton ensemble E est un peu différent de mon ensemble I. Dans le premier cas c+e n'est autre que f(c) et tu vois bien la ressemblance avec ce que je t'ai dit. Bravo.

C'est vrai que c'est un exercice assez tordu .. et trempeur car on n'a tendance à appliquer le thèorème des valeurs intermédiaire .. mais on ne peut pas car f n'est pas forcèment continue on voit mieux le tout dans un dessin ..

Bom bah merci bien et bon courage

exercice 9 de cete page
http://www.mathprepa.com/
---> contribs --->5) nombres reels

Merci Beaucou pour le lien .. :!