Résolution Equations a composants inverses

par **Yuli_35** » 07 Fév 2013, 11:16

bonjour à tous,

Je poste ici, mais ne suis pas certain que cette question soit au bon endroit.

Dans le cadre d'une analyse de données, j'ai constaté que la fonction approchant le phénomène (réel) observé est de type (on pourrait même immaginer avec plus de coefficients) :

y = ax^-3 + bx^-2 + cx^-1 +d

Ma notation x^-2 = 1 / (X*X)

J'ai en ma posséssion des vecteurs de données et souhaiterai savoir comment faire pour trouver les valeurs des coefficients a, b, c, d qui approximent le mieux mon vecteur de données.

A. Dans un premier temps , comment résoudre ces coefficients en ayant 4 points caractéristiques.
Je pense a mes vielles études ou je faisais des matrices inversées .... est-ce que cela s'applique et si oui auriez vous un lien pour avancer ?

B. dans un second temmps, prendre un vecteur de données (avec un nombre d'enregistrements bien supérieur au nombre de coefficients a trouver) et calculer par une méthode (des moindres carrés ou autre) les coefficients qui permettent de coller a la courbe. Si vous avez des liens je suis preneur.

Enfin si la solution existe déjà avec EXCEL, ou en programmant, n'hésitez pas a me pointer la chose.

Merci d'avance de vos réponses.

bien cordialement Gilles.

par **Sylviel** » 07 Fév 2013, 14:43

Bonjour,

le problème est effectivement un problème de qualibration "classique" et tu as très bien abordé le sujet.

Avec 4 points caractéristiques tu obtiendras un système linéaire
y1 = a x1^-3 + bx1^-2 + cx1^-1 +d
y2 = a x2^-3 + bx2^-2 + cx2^-1 +d
y3 = a x3^-3 + bx3^-2 + cx3^-1 +d
y4 = a x4^-3 + bx4^-2 + cx4^-1 +d

où les inconnues sont les a,b,c,d. Tu peux résoudre ce système de diverses manières. Sous forme matricielle il s'ecrit
Au = Y
où Y=(y1,y2,y3,y4) (en colonne en fait)
u = (a,b,c,d)
et
A =
x1^-3 x1^-2 x1^-1 1
x2^-3 x2^-2 x2^-1 1
x3^-3 x3^-2 x3^-1 1
x4^-3 x4^-2 x4^-1 1

Ainsi u = A^-1 b to donneras tes coefficients. De nombreux logiciels de calculs (peut-être même excel) ont une inversion de matrices programmée et/ou une résolution de système linéaire.

Ensuite si tu as plus de données une méthode d'approximation possible (et la plus courante pour diverses raisons) consiste à minimiser l'erreur quadratique. Tu cherches donc (a,b,c,d) qui minimise

La fonction coût J étant convexe il suffit d'écrire les conditions pour que les dérivées partielles s'annulent. Je suis généreux et je t'écris la condition pour la dérivée en a, en te laissant faire les autres par analogies

Du coup tu te trouves à résoudre le système A'u=b'
avec (si je ne me trompe pas) :
u = (a,b,c,d) (en colonne toujours)
b' =

et A'

Sous réserve d'erreurs...

Edit : argh je ne comprends pas pourquoi le TEX bug. La matrice est symétrique et la première ligne est

les lignes suivantes sont les mêmes en augmentant de 1 l'exposant. (qui démarre donc par la somme des x_i ^-5. Par conséquent le terme 4,4 de la matrice est simplement n.

par **Tom_Pascal** » 07 Fév 2013, 15:18

Bonjour,

Sylviel a écrit:et A'

...
Edit : argh je ne comprends pas pourquoi le TEX bug.

A priori, c'est corrigé :
Le plugin LaTeX utilisé (mimetex) vient d'être mis à jour. Passé de la version 1.70 à 1.74
Après quelques tests, les \pmatrix de plus de (3,3) éléments posaient effectivement problème avec l'ancienne version.

(Il faudra tout de même surveiller que cette nouvelle version n'entraine pas de nouveaux soucis)

par **Yuli_35** » 07 Fév 2013, 16:07

MERCI Tom_Pascal,

Tes réponses sont impeccables pour moi.
Je vais essayer les 2 méthodes.
En progarmmant sous perl je peux certainement faire cela simplement. il y adéjà des modules mathématiques qui peuvent certainement calculer les ineversions de matrices.

encore merci.

cordialement Gilles.

par **Tom_Pascal** » 07 Fév 2013, 16:12

Pas de souci Yuli_35, mais c'est surtout Sylviel que tu devrais remercier :lol3:

par **Sylviel** » 07 Fév 2013, 16:32

Vérifie quand même que la courbe obtenue te convient car j'ai fait les calculs sur un bout d'enveloppe...

Et sinon il me semble qu'Excel à de la regression pré-intégrée, mais je ne connais pas.

Bon courage en tout cas.

par **Yuli_35** » 10 Fév 2013, 16:27

Sylviel a écrit:Vérifie quand même que la courbe obtenue te convient car j'ai fait les calculs sur un bout d'enveloppe...

Et sinon il me semble qu'Excel à de la regression pré-intégrée, mais je ne connais pas.

Bon courage en tout cas.

Oui Merci a Sylviel (Désolé)
je vais m'y mettre cette semaine.
J'ai trouvé un module sous Perl qui intègre toutes les fonctions possibles sur les matrices.

Je vous tiens au courant de mes avancées.

cordialement gilles.

par **Yuli_35** » 11 Fév 2013, 12:17

Je viens de tester la première méthode avec un nombre limité de données (lié au nombre de coefficients a trouver.) ... Ca marche plutot bien !

Je m'attaque à la Deuxième solution avec toutes les données possibles. (pas certain que j'y arrive rapidement...)

en bleu foncé les données d'origine
en bleue clair la régression...

par **Yuli_35** » 15 Fév 2013, 19:43

On peut dire que la Deuxième méthode d'approximation par les moindres carrés fonctionne !
J'ai pris 8 points pour une équation a 4 inconnues. les courbes sont tellemnt proches ... l'erreur doit être très faible sur la section concernée.

C'est Remarquable !!!!

Ce genre d'expériences réconcilies avec les Maths ... pourtant mes souvenirs de Maths SUP et SPE (Presque 20 ans déjà !) n'étaient pas miraculeux ...

Un grand merci a vous Sylviel !

par **Yuli_35** » 16 Fév 2013, 12:26

Re bonjour,

Je reviens a la charge, car précédemment j'ai appliqué bêtement la méthode proposée par sylviel.
Cependant je n'arrive pas a tout comprendre d'un point de vue technique.
En fait j'aimerai pouvoir généraliser, et pouvoir faire des approximations avec des fonctions encore plus complexes ...

de type y= ax^-n + bx^-m + cx^-o + dx^-p + ..... constante.

ou n, m,o,p, .... pourraient prendre des valeurs entière ou non entières.
exemple y = 5x^(-0.5)+6x^(-1) + 0.01x^(-2) + 5

alors avant qu'on me donne la réponse toute faite, je voulais comprendre comment Sylviel passait de la fonction cout J a la dérivée en a ....
Il y a un racourci que je ne comprends pas. Il faut dire que je suis plus que rouillé sur ce style de calculs.

Merci d'avance pour l'explication additionnelle.

Cordialement gilles.

par **Yuli_35** » 16 Fév 2013, 18:56

Ca y est ... j'ai enfin compris. :ptdr:
J'ai pus généraliser avec des puissances d'ordre différent.
Cela fonctionne impeccablement.

cordialement Gilles.

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