[L1] Somme des inverses de tangentes

[benekire2]

Bonjour, hier soir , en faisant un exercice de trigonométrie j'ai bloqué sur une question, et je ne vois pas comment aboutir sur cette réponse.

Il s'agit de calculer pour n entier strictement positif et x compris entre 0 et pi/2 au sens strict.

Bien sûr il y a la réécriture que je trouve assez astucieuse qui utilise le fait que :



ainsi on a :


Question : Est-ce que c'est connu comme astuce et est ce que ça s'use beaucoup ( en gros, méthode ou astuce ?? parce que c'est sur qu'on aimerait avoir des simplification télescopiques mais de là a intuiter la relation ... )


Je vous remercie !

[Joker62]

Bé c'est d'la trigo.

En gros, on connaît la formule et quand on voit ça saute aux yeux
au pire, on passe la question.

[benekire2]

ok ok ça saute aux yeux :cry: ça confirme que c'est pas une astuce, juste un résultat "classique" . Il y a d'autres égalités du genre je suppose, quelqu'un saurait-il où les trouver où alors ça se trouve pas ?

Merci encore.

[Joker62]

Lol nan ça saute pas aux yeux à priori t'en fais pas.
Mais quand on le voit une fois, logiquement, ça reste.

Y'a un truc dans le même genre avec la formule sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Enfin la trigo s'pas terrible toute manière =p

[busard_des_roseaux]

ainsi on a :


Question : Est-ce que c'est connu comme astuce , mais de là a intuiter la relation ... )

Bs,


ça s'intuite à partir de:


et

[benekire2]

salut busard ! Je suis pas sûr d'avoir capté en fait, est-ce que tu pourrai :zen: t ré-expliquer stp ? ( Je suis long à la comprenette ... )

Merci !

PS: Joker, ouais ça reste parce que quand on a planté comme un abrutis devant la question .. ça énerve et du coup la fois d'après on se dit ... tient et si je .. et on essaye.
Mais bon, ça m'a pas parru évident, mais j'ai jugé bon de demander des explications histoire de "comprendre le truc"

[busard_des_roseaux]

re,





posons



on passe au log puis on dérive

[benekire2]

d'accord d'accord ^^ même si on se sert pas trop du fait que 1/tanx-2/tan(2x)=tanx on y arrive ...

Merci bien ! :++:

[benekire2]

Je déterre ,

Sur un exi a peu près similaire, on me demande de calculer

Et comme je connais pas la formule d'addition des arctan, j'ai beugé pendant un moment, jusqu'à ce que je me décide à calculer arctan(k+1)-arctan(k) , et là miracle, on trouve que ça vaut ce qu'il y a à sommer , d'où le télescopage, i.e le résultat .

Alors je pose la même question, est-ce que c'est un résultat à savoir "par cœur" où est-ce que ça saute aux yeux ? ( Ou rien du tout ... )

Merci :happy3:

[Nightmare]

Ben, si tu poses la même question, on risque à peu près de te donner la même réponse :lol3:

[benekire2]

Ben, si tu poses la même question, on risque à peu près de te donner la même réponse :lol3:

Cela dit, je pensais que c'était quelque peu différent vu que ça traite des arctan et non des tan, enfin bref, je vais noter ces deux "astuces" quelque part, histoire que si je beuge sur un truc similaire je les ressorte voir si ça marche pas par hasard ...