Produit d'une somme de réels par la somme des inverses

[math71]

Bonjour,
Voici mon énoncé: j'ai n nombres réels strictement positifs x1,...,xn. je dois montrer que l'on a :

J'ai calculé
= .
le premier sigma fait n, mais je ne sais pas trop comment minorer le 2nd. j'ai testé sur plusieurs exemples, ça marche, mais je ne vois pas trop pourquoi...
Merci pour une idée qui m'aiderait à continuer.

[math71]

le premier sigma va aussi jusqu'à n bien sûr... erreur de frappe que je ne vois que maintenant.

[math71]

Et dans la somme le second sigma c'est

[Ben314]

Salut,
C'est pas plutôt ça ton truc :

avec des indices et et pas des exposants et un plutôt qu'un ?

Avec , et , on a .

[math71]

Bonjour,
décidément j'ai du mal pour insérer mes équations... désolé.
oui bien sûr c'est des indices et c'est supérieur ou égal

[Ben314]

Dans ce cas, il y a (comme toujours) plusieurs méthodes :
- Soit tu continue dans la foulée de ce que tu as fait, puis tu constate que les sont tous minorés par 2 en utilisant le fait que ou alors l'étude de le fonction .
- Soit tu utilise dés le départ l'inégalité de Cauchy-Schwartz si tu la connaît.

[math71]

On a juste vu Cauchy-Schwarz avec les complexes. mais avec une rapide recherche sur internet j'ai vu un C.S. qui dit que sigma des x^2 multiplié par sigma des y^2 est supérieur ou égal au carré du sigma des xy. Comme ici nos réels sont tous positifs on l'applique à racine des x pour le premier sigma et racine des 1/x au second sigma ce qui nous donne le carré de la somme des 1 càd n^2 dans le second membre et c'est fini. mais je ne peux pas l'utiliser car non vu en classe.
Avec la seconde méthode, effectivement j'ai réussi à montrer que f qui à t associe t+1/t est minorée par 2 sur l'ensemble des réels strictement positifs. il reste donc à compter combien il y a de couples (k,p) dans le second sigma. Or il y en a 2 parmi n càd n(n-1)/2
D'où finalement = n^2
et c'est fini.
Merci beaucoup pour votre aide.