Question à propos de l'écart type

[bergamoth]

Bonsoir,

Je me pose une petite question toute bête à propos du calcul de l'écart type.

Lorsque l'on dispose d'une série qui contient des valeurs négatives, le calcul de l'écart type est un peu faussé non?

Dans ce cas là, quelle est la meilleure chose à faire : prendre les valeurs absolues de toutes les valeurs, ou bien élever chaque valeur au carré?

Merci d'avance.

[Skullkid]

Bonsoir, pourquoi penses-tu que l'écart type est faussé lorsqu'on a des valeurs négatives ? Si tu modifies les valeurs de ta série statistique en les élevant au carré ou en prenant la valeur absolue, là tu vas fausser les calculs puisque tu auras changé de série.

[bergamoth]

Bonsoir, pourquoi penses-tu que l'écart type est faussé lorsqu'on a des valeurs négatives ? Si tu modifies les valeurs de ta série statistique en les élevant au carré ou en prenant la valeur absolue, là tu vas fausser les calculs puisque tu auras changé de série.

Je pars du principe que l'écart type est sensé mesurer la volatilité de la série, donc je pensais que prendre les valeurs absolues ou au carré de la série n'impacterait pas la significativité de l'écart type, mais bon ce n'est qu'une approche personnelle, je voulais simplement ouvrir le débat et voir quels étaient les avis d'autres personnes.

En tout cas merci pour ta réponse.

[Doraki]

Si tu prends une série quelconque, et que tu rajoutes 10000000 à tous les termes, ça va rajouter 10000000 à la moyenne mais pas changer l'écart-type.
L'écart type ne dépend pas de là où sont les valeurs de la série mais de leur écarts entre elles.
Qu'il y en ait qui soient négatives ou positives ne veut absolument rien dire par rapport à l'écart-type.

[Skullkid]

Prends l'exemple de la série qui ne contient que deux valeurs opposées, par exemple -1 et 1. La moyenne est 0 et l'écart type est 1. Si tu prends la valeur absolue tu te retrouves avec une moyenne de 1 et un écart type de 0.

L'écart type renseigne, comme son nom l'indique, sur les écarts entre les valeurs (plus exactement l'écart entre les valeurs et la moyenne). Si tu modifies la série, a priori tu modifies les écarts. Après, je ne dis pas qu'il n'y a pas d'informations à tirer de la série "valeur absolue", mais ce n'est plus la série initiale.

[Dlzlogic]

Prends l'exemple de la série qui ne contient que deux valeurs opposées, par exemple -1 et 1. La moyenne est 0 et l'écart type est 1. Si tu prends la valeur absolue tu te retrouves avec une moyenne de 1 et un écart type de 0.

L'écart type renseigne, comme son nom l'indique, sur les écarts entre les valeurs (plus exactement l'écart entre les valeurs et la moyenne). Si tu modifies la série, a priori tu modifies les écarts. Après, je ne dis pas qu'il n'y a pas d'informations à tirer de la série "valeur absolue", mais ce n'est plus la série initiale.

Soient 2 mesures -1 et 1.
La moyenne est 0.
Ecart-type = sqrt((e1² + e2²)/(N-1))
Ecart-type = sqrt((2)/1) = racine(2]

[beagle]

Suis d'accord avec les copains bien sur,
mais je voudrais souligner un problème lors de l'apprentissage ou de l'enseignement.
On a ici le triomphe du modèle géométrique sur la capacité d'abstraction pure basée sur des définitions avec des mots et je sais quoi d'autres.
Lorsque l'on fait une représentation graphique de séries, de courbes de Gauss, de ...
et que c'est sur ces représentations que l'on s'appuie pour faire comprendre et enseigner moyenne et écart-type,
on évite la question du fil me semble-t-il.

Par curiosité, dans quelle classe es-tu bergamoth, et quand (depuis quand) comment as-tu appris la notion d'écart-type?

[Dlzlogic]

Bonjour Beagle,

Suis d'accord avec les copains bien sur,

Je ne vais pas faire la démonstration, parce que je ne la connais pas.
Imagine seulement que tu n'aies qu'un seule mesure, tu vas réussir à calculer un écart-type ?
Puisque tu es un adepte de Wiki, consulte les articles à ce sujet, tu verras que c'est précisé en toutes lettres.

[beagle]

Bonjour Beagle,

Je ne vais pas faire la démonstration, parce que je ne la connais pas.
Imagine seulement que tu n'aies qu'un seule mesure, tu vas réussir à calculer un écart-type ?
Puisque tu es un adepte de Wiki, consulte les articles à ce sujet, tu verras que c'est précisé en toutes lettres.

OK, pas vu les calculs, d'ailleurs je ne sais pas faire les calculs.
Ma réponse tient pour les généralités comme celles dites par Doraki, et les phrases de Skullkid me semblent bonnes.
Et c'est justement parce que je raisonne en visuel que je peux parfois répondre, parfois comprendre des messages sur ces sujets où je serais bien incapable de faire le moindre calcul, mème sur des trucs où j'ai su le faire dans ma jeunesse.
savoir calculer c'est bien naturellement, mais comme enseignement je préfèrerais une compréhension "générale" qu'apporte la visualisation.
C'était une façon de remarquer que l'abstraction peut (doit lorsque possible) se construire sur du concret, palpable, dessinable, reposant sur les sens sensoriels avant que d'ètre du sens d'essence!

[Sylviel]

@Dlzlogic : je ne vois pas ce que signifie ton dernier post. Par ailleurs oui je peux calculer l'écart-type d'une série contenant une seule valeur : c'est 0. Je n'ai pas vu où, dans l'article wikipédia, il est spécifié que ce n'est pas possible...

[leon1789]

Soient 2 mesures -1 et 1.
La moyenne est 0.
Ecart-type = sqrt((e1² + e2²)/(N-1))
Ecart-type = sqrt((2)/1) = racine(2]

dire que l'écart-type est de sqrt(2) avec l'échantillon -1,1 est assez étrange.
La moyenne est de 0, et l'écart type est 1.

[Skullkid]

@Dlzlogic : je ne vois pas ce que signifie ton dernier post. Par ailleurs oui je peux calculer l'écart-type d'une série contenant une seule valeur : c'est 0. Je n'ai pas vu où, dans l'article wikipédia, il est spécifié que ce n'est pas possible...

En même temps, le fait que Dlzlogic ne sache pas lire, c'est pas nouveau :/

[Dlzlogic]

@Dlzlogic : je ne vois pas ce que signifie ton dernier post. Par ailleurs oui je peux calculer l'écart-type d'une série contenant une seule valeur : c'est 0. Je n'ai pas vu où, dans l'article wikipédia, il est spécifié que ce n'est pas possible...

Je n'ai pas retrouvé l'article de Wiki auquel je pensais, mais j'ai trouvé celui-là qui a l'avantage d'être signé.
http://www.modulad.fr/archives/numero-37/Notule-Grenier-37/Notule-Grenier-37.pdf
Pour une série contenant une seule valeur, l'écart-type ne peut être que indéterminé, c'est à dire 0/0. Mais ceci n'est pas une démonstration.
En résumé, si on connait la valeur vraie de la moyenne, alors le dénominateur est N, si, au contraire, la valeur adoptée comme moyenne est la moyenne arithmétique des valeurs observées, alors ce dénominateur est (N-1). Le terme "biaisé" est souvent employé à ce propos.
Dans mon cours, il est écrit que cette démonstration dépasse le cadre de ce cours.

N'importe quel type d'écart caractérise une série d'observations, puisque elles sont toutes liées par des facteurs constants. L'écart-type qui est égal à l'écart moyen quadratique est le plus souvent utilisé.

[leon1789]

Je n'ai pas retrouvé l'article de Wiki auquel je pensais, mais j'ai trouvé celui-là qui a l'avantage d'être signé.
http://www.modulad.fr/archives/numero-37/Notule-Grenier-37/Notule-Grenier-37.pdf
Pour une série contenant une seule valeur, l'écart-type ne peut être que indéterminé, c'est à dire 0/0.
Mais ceci n'est pas une démonstration.
En résumé, si on connait la valeur vraie de la moyenne, alors le dénominateur est N, si, au contraire, la valeur adoptée comme moyenne est la moyenne arithmétique des valeurs observées, alors ce dénominateur est (N-1). Le terme "biaisé" est souvent employé à ce propos.
Dans mon cours, il est écrit que cette démonstration dépasse le cadre de ce cours.

N'importe quel type d'écart caractérise une série d'observations, puisque elles sont toutes liées par des facteurs constants. L'écart-type qui est égal à l'écart moyen quadratique est le plus souvent utilisé.

à mon avis, tu confonds l'écart-type standard (on divise par N) et l'écart-type avec biais (on divise par N-1).

[Dlzlogic]

à mon avis, tu confonds l'écart-type standard (on divise par N) et l'écart-type avec biais (on divise par N-1).

Je confond rien du tout. Une série de mesure n'a qu'un écart type.
Si on connait la valeur vraie de la moyenne, on divise par N, par exemple pour des tirages de numéros, loto, dé, etc.
Si on ne connait pas cette valeur vraie, par exemple mesure d'un longueur, alors le dénominateur est (N-1).
On ne décide pas si on connait la valeur vraie de la moyenne, on le constate.

Dans certains cas, c'est un peu plus compliqué. On ne connait pas la valeur vraie, mais d'autres observations, avec un matériel plus précis et des observations en plus grand nombre, ont permis de préciser une valeur qui peut être considérée comme vraie vis à vis des observations étudiées. Cette valeur peut être considérée comme "valeur vraie" et le dénominateur sera alors N.

Un exemple simple : on connait la taille moyenne des individus adultes en France. On considère que c'est une valeur vraie. A un endroit donné, on établie une série de mesures de taille d'individus. On va comparer les tailles à la moyenne nationale, on va calculer les écarts par rapport à cette moyenne et le dénominateur de la formule de l'écart-type sera N.

[leon1789]

Je confond rien du tout. Une série de mesure n'a qu'un écart type.
Si on connait la valeur vraie de la moyenne, on divise par N, par exemple pour des tirages de numéros, loto, dé, etc.
Si on ne connait pas cette valeur vraie, par exemple mesure d'un longueur, alors le dénominateur est (N-1).
On ne décide pas si on connait la valeur vraie de la moyenne, on le constate.

Et quand on considère la > (je site Skullkid), tu constates quoi ?

[bergamoth]

Merci à tous pour vos réponses.

Il y a une autre question que je me posais :

Existe-t-il des cas où l'espérance d'une série peut être supérieure à son écart type ?

Je veux dire, y-a-t-il une règle mathématique sous-jacente aux calculs de l'écart type et de l'espérance qui montrent que c'est impossible ?

Je demande ça car je me suis amusé à simuler bon nombre de séries sur excel avec la fonction alea.entre.bornes, et je me suis aperçu que pas une seule fois l'espérance a été supérieure à l'écart type.

Qu'en pensez-vous ?

[Dlzlogic]

Merci à tous pour vos réponses.

Il y a une autre question que je me posais :

Existe-t-il des cas où l'espérance d'une série peut être supérieure à son écart type ?

Je veux dire, y-a-t-il une règle mathématique sous-jacente aux calculs de l'écart type et de l'espérance qui montrent que c'est impossible ?

Je demande ça car je me suis amusé à simuler bon nombre de séries sur excel avec la fonction alea.entre.bornes, et je me suis aperçu que pas une seule fois l'espérance a été supérieure à l'écart type.

Qu'en pensez-vous ?

Ce que vous appelez l'espérance est la moyenne arithmétique des mesures.
L'écart-type est un écart caractéristique de l'ensemble des mesures.
On peut très bien avoir une moyenne très proche de 0 et un écart type grand ou au contraire une moyenne, donc une espérance, avec une valeur importante et un écart-type très faible.
En d'autres termes, ça n'a aucun rapport. Ce serait bien si vous donniez des exemples de ce que vous avez fait.

[beagle]

Merci à tous pour vos réponses.

Il y a une autre question que je me posais :

Existe-t-il des cas où l'espérance d'une série peut être supérieure à son écart type ?

Je veux dire, y-a-t-il une règle mathématique sous-jacente aux calculs de l'écart type et de l'espérance qui montrent que c'est impossible ?

Je demande ça car je me suis amusé à simuler bon nombre de séries sur excel avec la fonction alea.entre.bornes, et je me suis aperçu que pas une seule fois l'espérance a été supérieure à l'écart type.

Qu'en pensez-vous ?

Relis la réponse de Doraki, il arrive à augmenter la moyenne d'autant qu'il veut sans changer l'écart-type ...

[Sylviel]

@Dlzlogic : comme d'hab' tu es si persuadé de tout savoir que tu ne veux pas lire ce que l'on te dis.
- L'écart-type d'une variable aléatoire est très bien défini comme la racine de la variance.
- L'écart type d'une série de nombre est très bien défini (et c'est la division par n).
- Un estimateur de l'écart-type d'une variable aléatoire dont on a plusieurs réalisations (c'est ce que tu appelles une mesure d'une valeur inconnue) modifie la formule pour changer la division par n en division par n-1, car l'estimateur est alors meilleur.

Donc ton calcul d'écart-type ici est faux (et serait compté comme tel dès le bac). Et l'écart-type d'une série de nombres ne contenant qu'une seule réalisation est 0.

D'ailleurs le papier que tu cite l'explique bien... La formule que tu donnes n'est valable que lorsque tu cherches à estimer l'écart-type de la variable aléatoire sous-jacente. D'ailleurs la formule avec n-1 est appelée 'écart-type corrigé' dans le papier en question.