Polynomes et image

[matthieu45]

Bonjour, j'avais déjà demandé une petite aide il y a quelques jours sur un exercice. Une autre question me dérange.

pour tout entier naturel k, on définit le polynome Pk par P0=1, P1=X, P2=[X(X-1)]/2 et Pk=[X(X-1)....(X-k+1)]/k!

j'ai montré que Pn(X+1)-Pn(X)=Pn-1(X)
et n.Pn(X)=(X-n+1).Pn-1(X)
de plus, j'ai montré que la famille des polynomes Pk, est une base de Rn[X].

Maintenant, on considère l'application f:R[X]-->R[X] définie par f(P)=Q avec Q(X)=P(X+1)-P(X). On me demande de déterminer l'image de f en utilisant la famille des polynomes Pk. Puis d'en déduire que pour tout polynome P, il existe un unique polynome S tel que S(0)=0 et f(S)=P.

Je n'arrive pas à faire le lien entre les polynomes Pk et cette application f ...
Si vous avez une idée.

Merci d'avance !

[yos]

Bonjour.
Utilise la première de tes égalités : qui s'écrit aussi .

[matthieu45]

oui j'y avais pensé mais je ne vois pas comment déterminer l'image avec ce f(Pn)=Pn-1

[yos]

Ben tous les sont dans l'image (puisque c'est des "f de quelquechose"). Tu sais en plus ce qu'ils engendrent.