Révision sur le raisonnement par récurrence

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Dinozzo13
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Révision sur le raisonnement par récurrence

par Dinozzo13 » 20 Mai 2010, 18:16

Bonjour, révisant le raisonnement par récurrence j'aimerai savoir si l'exercice suivant a été bien fait, merci d'avance.
Démontrer que pour tout entier , il existe deux entiers et tels que : .

Si alors donc il existe bien deux entiers et tels que et .
Supposons que pour tout , il existe deux entiers et tels que : , montrons qu'alors il existe deux entiers et tels que : .
D'après l'hypothèse de récurrence :




en posant :
et .
Par conséquent, il existe deux entiers et tels que : .
Et donc il existe bien deux entiers et tels que : .



Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 20 Mai 2010, 18:36

Je rajoute une question à cet exercice.
On considère les suites et définies pour tout entier , par :
et .
Vous l'aurez peut-être compris, je veux exprimer et en fonction de n.
Pour cela, j'ai besoin de définir une suite auxiliaire qui sera en fonction de et de telle sorte que cette suite soit arithmétique ou géométrique, mais je ne parviens par à trouver une telle suite (ce qui me paraît le plus compliqué), j'ai donc besoin d'un coup de pouce.
Après le reste est d'une simplicité, je compte sur vous afin de m'aider à trouver cette suite :++:
J'ai essayer :


Mais sans aucun résultat.

Le_chat
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par Le_chat » 20 Mai 2010, 19:10

Dinozzo13 a écrit:Supposons que pour tout , il existe deux entiers et tels que : , montrons qu'alors il existe deux entiers et tels que : .

Si tu supposes ça, tu supposes le résultat, ce n'est pas la bonne démarche.
Dis plutôt: soit n;)1,montrons que si il existe deux entiers et tels que : , alors il existe deux entiers et tels que : .

Tu peux aussi écrire pour simplifier, au début de ta récurrence: on va demontrer pour tout n;)1 P(n)=il existe deux entiers et tels que : .
Ensuite, tu gagnes à faire ressortir les étapes:
"Initialisation: ...."
"hérédité: soit n ;)1, supposons P(n) montrons P(n+1)..."

Le_chat
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par Le_chat » 20 Mai 2010, 19:12

Sinon, une autre méthode (pas par récurrence) qui te donne directement pn et qn: Tu développes avec la formule du binôme de Newton le

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 20 Mai 2010, 19:29

Oui, en effet, j'aurai pu développer avec le binôme de newton mais l'énoncé précise d'utiliser le raisonnement par récurrence.
Sinon, à propos de ma suite , une proposition ?

benekire2
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par benekire2 » 20 Mai 2010, 19:30

pour le deuxième, je pense qu'il faut "jouer" avec les suites adjacentes, mais j'en suis pas sûr je l'ai pas fait ...

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 20 Mai 2010, 19:50

Je crois avoir trouvé. J'en ai pris une, assez simple pour faciliter les calculs :
.
Edit : non, ca ne marche pas, je me suis trompé.

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Ben314
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par Ben314 » 20 Mai 2010, 19:56

Si tu tient à exprimer et en fonction de n (mais, tu ne va pas être déçu...) réfléchi un peu et regarde à quoi est égal...
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Nightmare
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par Nightmare » 20 Mai 2010, 20:03

Salut :

Voici une méthode généralisable à retenir , connu de tous les taupins :

On se place dans R², et on considère l'application (linéaire...)

On a bien évidemment,

En réitérant, on a rapidement que (f^n = fofof...of composée n fois)

La seule difficulté consiste à trouver l'expression de f^n. Ici ce n'est pas trop difficile, il suffit d'examiner pour n=1,2,3 et d'essayer de trouver une relation de récurrence sur les coefs de x et y. Plus tard, tu verras des méthodes de réductions des applications comme f (dites linéaires), en particulier la diagonalisation/trigonalisation, qui te permettront de "simplifier" radicalement ce genre de calcul.

benekire2
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par benekire2 » 20 Mai 2010, 20:05

Salut ben !

avec le binôme on doit s'en sortir, mais je me demande s'il n'y a pas moyen juste avec les suites , sans qu'on sache les questions précédentes ... en tout cas j'ai cherché les suites linéaires u(n)=a*p(n)+b*q(n) et ça n'a rien donné.

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Ben314
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par Ben314 » 20 Mai 2010, 20:08

J'ai un tout petit peu peur que même si tu calcule f, fof, fofof, fofofof, etc jusqu'à l'ordre 10, et ben tu "verras" rien apparaitre du fait que les coeffs sont entiers alors que les valeurs propres sont irrationelles...
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Nightmare
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par Nightmare » 20 Mai 2010, 20:09

Ben314 a écrit:J'ai un tout petit peu peur que même si tu calcule f, fof, fofof, fofofof, etc jusqu'à l'ordre 10, et ben tu "verras" rien apparaitre du fait que les coeffs sont entiers alors que les valeurs propres sont irrationelles...


Oui ! Je viens de m'en rendre compte en diagonalisant ma matrice... Tant pis pour ce cas, c'est quand même bon à savoir.

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Ben314
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par Ben314 » 20 Mai 2010, 20:10

benekire2 a écrit:Salut ben !

avec le binôme on doit s'en sortir, mais je me demande s'il n'y a pas moyen juste avec les suites , sans qu'on sache les questions précédentes ... en tout cas j'ai cherché les suites linéaires u(n)=a*p(n)+b*q(n) et ça n'a rien donné.
Si tu veut aller dans cette voie, le seul truc simple c'est
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benekire2
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par benekire2 » 20 Mai 2010, 20:19

ok, mais question con, elle tombe d'où ? Tu l'as conjecturé ?

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 20 Mai 2010, 21:30

Dinozzo13 a écrit:Je rajoute une question à cet exercice.
On considère les suites et définies pour tout entier , par :
et .
Vous l'aurez peut-être compris, je veux exprimer et en fonction de n.
Pour cela, j'ai besoin de définir une suite auxiliaire qui sera en fonction de et de telle sorte que cette suite soit arithmétique ou géométrique, mais je ne parviens par à trouver une telle suite (ce qui me paraît le plus compliqué), j'ai donc besoin d'un coup de pouce.
Après le reste est d'une simplicité, je compte sur vous afin de m'aider à trouver cette suite :++:
J'ai essayer :


Mais sans aucun résultat.

Moi, je ne trouve rien.
Serait-il possible qu'il n'existe pas de suites satisfaisant mes conditions ?

benekire2
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par benekire2 » 20 Mai 2010, 21:32

et bien je crois que ben en a une pas trop mal :we:

Dinozzo13
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par Dinozzo13 » 20 Mai 2010, 21:48

Ben314 a écrit:Si tu veut aller dans cette voie, le seul truc simple c'est

Etes-vous sûr ?
Je ne vois pas en quoi cette expression peut-être satisfaisante.

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Ben314
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par Ben314 » 20 Mai 2010, 23:24

Bon, si, pour tout n, tu pose alors tu as :


Ce qui montre que la suite est géométrique.
Saus que ça ne fait qu'une seule équation concernant et .

En fait, si tu veut et en fonction de , le plus simple et le plus naturel est de partir de :
et de montrer qu'on a aussi
(il y a... des tas de méthodes)
Tu n'as plus qu'à ajouter/soustraire ces équations pour avoir et en fonction de ...
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