Projection d'un point sur un plan

[Anonyme]

Bonjour ! Cela fait quelques jours que je tente de trouver une certaine fonction mathématique qui doit me servir pour un algorithme.

Voici un schéma de la situation (qui, je précise, n'est qu'un exemple possible) :

edit: petite erreur dans le 2e schéma : u' n'est pas directeur de (ABC), donc ne devrait pas y apparaître.

Sachant que, dans le répère orthonormé (O;u;v;w), P est un plan perpendiculaire à (AC) et coupant la droite en le point P;
Ce plan est muni du repère orthonormé (P;u';v') tel que dans le repère (O;u;v;w), ||u'||=||v'||=1 et z(u')=0.
Le point B' est l'intersection du plan P et de (AB).

Je voudrais une fonction qui, à partir des coordonnées des points A, B et C et de la distance AP dans le repère (O;u;v;w), donne les coordonnées du point B' dans le repère (P;u';v').

Bien que très bon en maths (en terminale S), malgré les heures passées à résoudre ce problème, je n'y arrive vraiment pas. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider, s'il vous plaît ?

Merci pour votre attention !

[Manny06]

Bonjour ! Cela fait quelques jours que je tente de trouver une certaine fonction mathématique qui doit me servir pour un algorithme.

Voici un schéma de la situation (qui je l'espère, sera lisible) :

Sachant que, dans le répère orthonormé (O;vecteur u; vecteur v;vecteur w) (j'ai oublié de noter le point O) :
P est un plan perpendiculaire à (AC) et coupant la droite en le point P;
Les vecteurs u' et v' appartiennent au plan P et respectivement à un plan horizontal et un plan vertical, et ont tous les deux pour norme 1;
Le point B' est l'intersection du plan P et de (AB).

Je voudrais une fonction qui, à partir des coordonnées des points A, B et C dans le repère (O;u;v;w) et de la distance AP, donne les coordonnées du point B' dans le repère (P;u';v').

Bien que très bon en maths (en terminale S), malgré les heures passées à résoudre ce problème, je n'y arrive vraiment pas. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider, s'il vous plaît ?

Merci pour votre attention !

impossible de lire la figure

[annick]

Bonjour,
quelles coordonnées de points as-tu ? Celles de A ? C ? B ? Ce serait plus facile pour raisonner si tu les as .

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je vais essayer de vous donner un conseil.
Imaginez que le plan P est horizontal. La "distance AP" est donc la hauteur au point A par rapport au plans P.
Les coordonnées de B' ne devraient pas être difficiles à calculer.

[Anonyme]

J'ai remplacé l'image dans le premier message, pour une meilleure lisibilité.
Je vous rappelle que je n'ai aucune coordonnée, tout est variable. C'est pour cela que je veux une fonction.
Dlzlogic, je comprends ce que tu veux dire (si on peut se tutoyer), mais je ne trouve pas ça du tout facile... Par contre ta manière de voir les choses me semble intéressante, je vais essayer de me replonger dans les équations avec ce point de vue !
A+

[Anonyme]

Si on trouvait une équation paramétrique du plan P de la forme
(x, y, z) = (x(u'), y(u'), z(u')) * k + (x(v'), y(v'), z(v')) * l + (x(P), y(P), z(P))
, alors les paramètres k et l correspondraient respectivement aux coordonnées x et y d'un point dans le repère (P, u', v'), n'est-ce pas ?
Alors il suffirait de chercher l'intersection du plan P et de (AB), et de chercher les paramètres de ce point dans l'équation du plan P...
Mais comment obtenir cette équation paramétrique de P ? Déjà, quelles sont les coordonnées des vecteurs u' et v' dans le repère (O;u;v;w)?
Merci d'avance pour votre aide !

[Joker62]

Hello,

Le point P est l'intersection entre la sphère de rayon AP (longueur que tu connais) et la droite (AC)

De plus, comme (AC) est orthogonal au plan P, tu connais un vecteur normal à P

Tu peux donc en déduire une équation cartésienne de P

Et enfin, trouver les coordonnées de B', intersection entre AB et P

Avec ça, tu auras les coordonnées de B' dans le repère initial. Il reste à passer dans l'autre repère.

[Anonyme]

Ok mais comment faire pour passer dans l'autre repère ? Et d'abord, comment trouver les coordonnées de u' et v' ? J'ai cherché ça pendant plusieurs heures, ce matin, en vain.

[Dlzlogic]

Bon, je détaille ma façon de voir les choses.
Si je considère comme référentiel le plan P.
On connait la distance de A à P, et A' est la projection de A sur P, c'est à dire l'intersection de AC et P.
Il n'est pas très difficile de calculer la distance de B à P, que j'appelle H.
Le plan passant par A,A', H et B est perpendiculaire à P, donc vertical dans mon référentiel. il est facile de calculer AB, un coup de Thales et le problème devrait être réglé.
Il est possible aussi de prendre la méthode de changement de repère, mais elle me parait moins facile, par contre, si elle vous plait plus, je pourrai vous l'expliquer.
Ce problème me rappelle vraiment l'opération pour projeter un objet sur un plan en perspective. Le point A est l'observateur, le point C est le point de visée, P est le fenêtre, et le point B est le point à projeter, B' son image sur le plan P.

[Anonyme]

Ah bin c'est marrant, c'est précisément ce que je cherche à faire ! ;-)
Le problème avec ta méthode est qu'on n'obtient que la distance B'P, si j'ai bien compris. Je vais la revoir attentivement demain. Mais j'adorerais que tu m'expliques la méthode de changement de repère. Ça pourrait me servir souvent.
Au fait, juste par curiosité, quelqu'un pourrait me dire comment trouver les coordonnées des vecteurs u' et v', s'il vous plaît ? Parce que je n'y arrive pas et ça me dégoûte, parce que ça avait l'air simple. A chaque fois je me perds dans mes équations...
Encore merci de votre aide, et bonne soirée à tous !

[Joker62]

Pour u',

On projette les points A et C dans le plan horizontal (On prend leur z = 0)
On dit AC et u' sont orthogonaux.

On a donc u' facilement. (deux coordonnées x et y)

On normalise en divisant par sa norme.

Et on rajoute z = 0 et c'est ok.

[quartzmagique]

Ok mais comment faire pour passer dans l'autre repère ? Et d'abord, comment trouver les coordonnées de u' et v' ? J'ai cherché ça pendant plusieurs heures, ce matin, en vain.

Bonjour A.Nor'Yme
je n'ai pas vu le problème en son entier(de plus pas d'accès à l'image)
mais juste ce post là m'interpelle si ça peut t'aider
est-ce que ce que tu recherche en fait est la methode te permettant:

tu dispose de deux reperes {A,[V1,V2,V3]} et {B,[W1,W2,W3]}
tu dispose des coordonnées d'un point quelconque definie selon l'un des deux reperes et tu recherche les coordonnées de ce même point sur l'autre repere?
est-ce que c'est ça que tu recherche en fait?

[Anonyme]

Bonjour A.Nor'Yme
je n'ai pas vu le problème en son entier(de plus pas d'accès à l'image)
mais juste ce post là m'interpelle si ça peut t'aider
est-ce que ce que tu recherche en fait est la methode te permettant:

tu dispose de deux reperes {A,[V1,V2,V3]} et {B,[W1,W2,W3]}
tu dispose des coordonnées d'un point quelconque definie selon l'un des deux reperes et tu recherche les coordonnées de ce même point sur l'autre repere?
est-ce que c'est ça que tu recherche en fait?

Oui, à ceci près que le deuxième repère a deux dimensions. Mais le point dont on recherche les coordonnées est dans le plan du 2e repère, donc ça ne devrait pas poser de problème.
Au fait, merci Joker62 pour le vecteur u'. Tu pourrais m'aider pour le vecteur v' aussi ?
Bon Dimanche à tous !

[quartzmagique]

bon alors au fur et à mesure
je n'ai pas l'image mais tu me dit si ça avance dans ton sens ok?
tu a donc un des deux reperes comme suit
le premier (bon pour les points tu choisit vu que c'est toi qui sait ce que tu cherche) je leur donne un nom
un repere {A,[V1,V2,V3]}
et le deuxieme {B,[W1,W2]}
vu que tes deux vecteurs W1 et W2 ne sont pas colinéaires alors pour commencer tu peut donc definir le produit vectoriel


de sorte que tu obtiendra deux reperes de R3
{A,[V1,V2,V3]} et {B,[W1,W2,W3]}

est-ce que jusque là je suis sur tes traces?

[Anonyme]

Eh bien oui, merci, je pense que ça m'aidera. Par contre le produit vectoriel, je ne connais pas... Un petit coup d'oeil sur Wikipedia...
Au fait, pourquoi tu n'as pas accès à l'image ?
Et pour la méthode que j'ai décrite plus haut, il y a quelque chose qui cloche ?

[quartzmagique]

Eh bien oui, merci, je pense que ça m'aidera. Par contre le produit vectoriel, je ne connais pas... Un petit coup d'oeil sur Wikipedia...
Au fait, pourquoi tu n'as pas accès à l'image ?
Et pour la méthode que j'ai décrite plus haut, il y a quelque chose qui cloche ?

je vais pas t'embêter avec ça mais il y a des questions autres que je dois te poser
là c'est obligé pour les questions
sinon en attendant pour le produit vectoriel il a des proprios algebriques on verra ça plus tard
mais pour tes calculs
tu possede une methode mnemo visible
X produit vectoriel Y = Z
Z1 = X2Y3 - X3Y2
Z2 = X3Y1 - X1Y3
Z3 = X1Y2 - X2Y1
est-ce que tu voit la "circularitée"?
1-2-3
2-3-1
3-1-2

[quartzmagique]

bon je commence par une question (c'est pour t'aider c'est important)
tu dispose de deux reperes ok
{A,[V1,V2,V3]} et {B,[W1,W2,W3}
comment as tu fait pour les avoir?

autrement dit ces valeurs tu les as comment?
autrement dit par rapport à quel repere tu les as?

[quartzmagique]

tu comprend bien que {(0,0,0),I}
I étant la base canonique de R^3
base ortho-unitaire qui respecte le produit vectoriel et qui en plus se represente selon [I1,I2,I3] avec
I1 = (1,0,0)
I2 = (0,1,0)
I3 = (0,0,1)

peut constituer le repere sur lequel tu peut dire que tu dispose des informations qui concernent les reperes {A,[V1,V2,V3]} et {B,[W1,W2,W3]}

mais pas forcément car tu peut dire que non! c'est aussi une possibilitée en fait qui dépend de la problématique que tu donne, mais tu doit dire alors par rapport à quel repere(s)

effectivement tu peut tres bien choisir (selon la problématique que tu donne) de posseder les informations concernant le repere {B,[W1,W2,W3]} cela par rapport au repere {A,[V1,V2,V3]} et les information concernant le repere {A,[V1,V2,V3]} cela par rapport au repere {B,[W1,W2,W3]}
quel serait la problématique qui serait le plus rapprochée selon ce fil
sinon non je n'ai pas accès à l'image(j'ai un vieil ordi pourri qui date de 2000) mais ici ce sont des questions qui sont un préalable on dirait...
par conséquent je repose la question du post précédent
(la question du post qui precede encore ce dernier n'est pas vraiment importante tu comprend?)

[Joker62]

Pour v' on fait pareil sauf qu'on projette sur un plan vertical. On prend x = 0 par exemple.

[quartzmagique]

sinon il y a encore d'autres questions mais je peut plus rien faire sans tes réponses aux questions précédentes...