Demonstration d'égalité sur division euclidienne

[JB07]

Bonjour, voici un petit probleme sur les divisions euclidienne :

---------------PROBLEME----------------------
On considere la division euclidienne de n1 par D ayant pour quotient q1 et reste R1
On considere la division euclidienne de n2 par D ayant pour quotient q2 et reste R2
On pose : N = n1 * n2

Montrer que le reste R de la division euclidienne de N par D est le meme reste que celui de la division euclidienne de R1*R2 par D.
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Donc si j'avais bien compris on a

n1 = q1*d + r1 soit r1 = n1 - q1*d
n2 = q2*d + r2 soit r2 = n2 - q2*d
n = n1*n2

On doit donc demontrer que R est le meme dans les deux equations :
r1*r2 par d ==> r1*r2 = d * Qr + R
// J'appelle Qr le quotien de r1*r2 par d
n1*n2 par d ==> n1*n2 = d * Qn + R
// J'appelle Qn le quotien de n1*n2 par d

On pose les divisions :
n1 * n2 = (q1*d + r1)(q2*d +r2) = d * Qn + R

r1 * r2 = (n1 - q1*d)(n2- q2*d) = d * Qr + R

D'ici meme en developpant et en tournant dans tous les sens , comment montrer que ces deux divisions euclidienne on le meme Reste ? (R est le meme dans les deux cas)... C'est peut etre évident mais j'y arrive pas !!

Merci d'avance en tout cas !!

[JB07]

Un petit bonus sur lequel je bloque aussi pour les plus fort en divisions euclidienne :)

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1 ) Effectuer les divisions euclidienne de 1 par 9, 11 par 9, 111 par 9, ... 1111111111 par 9
2 ) Effectuer les divisions euclidienne de 1 par 7 , 11 par 7, 111 par 7, ... 1111111 par 7

Suite : Soit p un entier naturel se terminant par 1 , 3 , 7 ou 9
1)traduire avec des critère arithmétique les caractéristique de p
2)On considère p+1 divisions euclidiennes : 1 par p, 11 par p, 111 par p jusquà 11...11 ((p+1) chiffres 1 ) par p
a) montrer que 2 divisions euclidiennes parmi ces p+1 divisions euclidiennes ont le meme reste noté r.
b)A l'aide de la définition de la DE et de la question précédente, en deduire deux égalités.
3) Conclure en utilisant le théorème fondamental de l'arithmétique.
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Merci d'avance pour votre aide.

[rene38]

Bonjour
n1 = q1*d + r1
n2 = q2*d + r2
n = n1*n2
En notant Q et R le quotient et le reste de la division euclidienne de r1r2 par d
r1r2=dQ+R

n=(q1*d + r1)(q2*d + r2)
n=q1q2d²+q1dr2+q2dr1+r1r2
n=d(q1q2d+q1r2+q2r1)+r1r2 ........Or r1r2=dQ+R donc
n=d(q1q2d+q1r2+q2r1)+(dQr+R)
n=d(q1q2d+q1r2+q2r1+Q)+R