[Term S] Spé - Déterminer quotient et reste d'une division euclidienne

[carl183]

Bonjour,
je dois rendre un DM, et il y a un exercice que je n'arrive pas à résoudre :
Déterminer le quotient q et le reste r de la division euclidienne de a=2n²+n par b=n+1. n entier naturel différent de 0 et 1.

Je sais que a = bq + r
et que 0 < r < n+1
et n > 1.

J'ai tout essayé mais je n'y arrive pas. Mais j'ai conjecturé que q = 2n-1 et r = 1.
Comment le démontrer ? Merci !

[oscar]

Bonjour
2n² +n | n+1
-2n² -2n |---------
............. |2n -1
-n
.........n+1
..........r=+1....

Donc (2n² +n) divisé par (n+1) = 2n-1 et le reste est +1

[Monsieur23]

Bonjour !

Comment as-tu fais pour conjecturer ceci ?

Si tu peux prouver que 2n²+n=(2n-1)(n+1) + 1, alors c'est bon, par unicité de la division euclidienne !

[carl183]

Ben j'ai calculer les premier termes avec n=2, 3, 4, 5 et puis je l'ai remarqué. Donc cela suffit de conjecturer, puis de montrer que (n+1)(2n-1)+1 = 2n²+2 ?
PS : je n'ai pas compris ta manière de faire oscar.

[Monsieur23]

Bien sûr que ça suffit.
Puisque dans la division euclidienne, q et r sont uniques, si tu sors deux nombres au hasard, et qu'ils marchent, ben c'est bon ! Peu importe la manière dont tu les as trouvés ! ;-)

[carl183]

Enfait, je cherchais une méthode car j'ai un exercice identique à faire, mais je n'arrive pas à conjecturer quoi que ce soit.
Je dois trouver le reste de la division de (n+2)² par n+4. Quelle technique dois-je utiliser ?

[Monsieur23]

Bon, je vais t'expliquer ma "méthode" pour ce genre de trucs ( c'est plus du bidouillage qu'un truc rigoureux, mais bon...)

(n+2)² = n²+2n+4 = q (n+4) + r

Tu choisis q pour que ça marche avec les n² et les n ; ici il te faut 1n² donc q=(n+...). Il te faut 2n donc (4+...)n = 2n, d'où ...=-2.

Donc (n+2)² = (n-2)(n+4) + r.

Il reste le terme constant à trouver.
D'un côté de l'équation, c'est 4, de l'autre, c'est -8+r.

Donc r-8=4, soit r=12.

Donc (n+2)²=(n-2)(n+4) + 12

Reste à savoir si 0<12

[carl183]

Le problème c'est que j'ai n entier naturel non nul, donc l'inégalité est fausse. r = 4, normalement.

[Monsieur23]

L'inégalité est vraie dès que n+4 > 12, soit n>8.

Pour n=0,1,2,...,7, c'est à part, mais c'est numérique ! :happy2:

[carl183]

Ton erreur vient du fait que tu as mal développé l'identité remarquable.
Il faut 4n et non 2n.
Du coup, q = n et r = 4, et l'inéquation est vérifiée.
J'ai trouvé comment faire.
Merci quand même !

[Monsieur23]

Ah oui tiens !
Merci de m'avoir corrigé, comme quoi c'est souvent sur les trucs bêtes qu'on se trompe !

[oscar]

J' ai corrigé mes calculs

2n² +n = ( 2n-1)(n+1) +1

C' est une division élémentaire

[oscar]

J' ai corrigé mes calculs

2n² +n = ( 2n-1)(n+1) +1

C' est une division élémentaire