Idéaux de Z/360Z

[CC_]

Bonjour,

J'ai un petit exo d'algèbre : je dois déterminer les idéaux ordonnés pour l'inclusion de Z/360Z.

J'ai un peu commencé à chercher mais je n'ai pas avancé bien loin. Voici ce que j'ai fait :

Sachant qu'un idéal est en particulier un sous-groupe, j'ai commencé à chercher tous les groupes de Z/360Z. Comme c'est un groupe cyclique, il admet autant de sous-groupes (cycliques eux aussi) que 360 admet de diviseurs. L'unique sous-groupe d'ordre 2 est <180>, l'unique d'ordre 3 est <60>, etc.
Les sous-groupes de Z/360Z sont donc : <2>, <3>, ..., <180>.

Donc, s'il y a des idéaux de Z/360Z, ce sont nécessairement certains des sous-groupes cités ci-dessus. Sans doute tous, même.

Ensuite, je me heurte à plusieurs difficultés :

1) Que représente explicitement <2> ? Il s'agit bien de 2Z/360Z non?.. (idem pour tous les autres)
2) Pour montrer que ce sont des idéaux, est-ce correct de dire : soit x un élément de Z/360Z, et a un élément de <2> (ie a = 2k). Alors ax = 2kx appartient bien à <2> ? (idem pour tous les autres)

Merci...

[klevia]

Salut, je ne suis pas sur que tous tes sous groupes sous des ideaux de Z/360Z:
exemples:
Soit [5]appartenant à Z/360Z
soit [1] appartenant à Z/2Z
alors [5].[1]=[5] qui n'appartient pas à Z/2Z dans Z/360Z
mais je ne suis pas sure de moi ...

[klevia]

C'est bon , j'ai trouvé je pense:
Soit f: Z -> Z/360Z
x -> [x]
f est la surjection canonique.
on sait que par un homomorphisme d'anneau surjectif, l'image d'un idéal est un idéal
les idéaux de Z sont de la forme aZ avec a appartient à Z.
d'où les idéaux de Z/360Z sont les images par f de tous ses idéaux.

[CC_]

on sait que par un homomorphisme d'anneau surjectif, l'image d'un idéal est un idéal

Hello et merci!
Effectivement, c'est vrai... Mais c'était pas évident a priori...

Donc, les idéaux propres de Z/360Z sont f(2Z), f(3Z), ... etc ; avec f la surjection canonique.
Et de façon explicite, f(2Z) est bien 2Z/360Z ?

[ThSQ]

Ca a pas l'air d'inspirer grand monde, je ramène ma fraise :

* 2Z/360Z n'écrirait-il pas 2*Z/360Z plutôt car 2Z n'est pas un anneau (sous entendu unitaire, encore que dans certains bouquins d'algèbre (anciens ???) on voit des anneaux non unitaires :hum: :doh: ).
2*Z/360Z ~ Z/180Z d'aillleurs

* comme tu l'as dit les sous-groupes de Z/nZ,+ sont les Z/dZ avec d | n. C'est aussi des idéaux donc on les a tous.

[CC_]

Bonsoir,

* comme tu l'as dit les sous-groupes de Z/nZ,+ sont les Z/dZ avec d | n. C'est aussi des idéaux donc on les a tous.

Disons que je m'étais arrêté à dire que c'étaient les avec d diviseur de n Justement, ensuite, je n'avais pas vraiment su avec certitude donner une expression explicite de . Il semblerait que ~ Z/(n-d)Z, mais ce n'est ici qu'un isomorphisme et pas une identité?..

De plus, pour montrer que les Z/dZ sont des idéaux, ma preuve du dessus était-elle suffisante (ou correcte)?

[klevia]

Je pense que f(2Z) est { [0],[2],[4],....,[356],[358]}
est-ce plus clair ?

[CC_]

Oui oui, ça je comprends bien ^^ mais on ne peut pas l'exprimer autrement que comme ça? C'est à dire, par exemple, que ce n'est pas 2Z/360Z, ni Z/180Z, etc...? La seule façon de le donner explicitement est d'en faire la liste, ou de dire f(2Z)?

[ThSQ]

les idéaux ordonnés pour l'inclusion de Z/360Z.

C'est curieux tiens au fait, l'inclusion sur les idéaux de Z/360 n'est pas un ordre total ...

[klevia]

Exact, d'ailleurs cela me semble vrai des qu'il y a un anneau quotient:
Soit G un anneau et A un ideal
Alors les anneaux de G/A sont les images des ideaux de G par la surjection canonique f.
Rm: Soit H un idéal de G alors f(H) est un idéal de G/A même si A n'est pas inclus dans H !! (Confère un ancien exo que tu m'avais aidé à faire)