Fonction

[xavier005]

Bonjour, est ce que quelqun pourait me corriger et m' aider pour cet exercice svp.
On se propose de demontrer qu'il existe une seule fonction f derivable sur R verifiant la condition (c):
-f(-x)f'(x)=1
-f(0)=-4
pour tout reel x,(f' designe la fonction derivee de la fonction f) et de trouver cette fonction.
1)On suppose qu' il existe une seule fonction f satisfaisant la condition (c) et on considere alors la fonction g definie sur R par g(x)=f(-x)f(x).
a) Demontrer que la fonction f ne s' annule pas sur R.
ma reponse:si pour tout x, f est dérivable alors pour tout x, f''(x) prend une valeur finie. ma reponse:
Son produit avec f(-x) étant égal à 1, cela implique que f(-x) est différent de 0, sinon le produit f(-x)f'(x) serait lui-même nul
b)Calculer la fonction derivee de la fonction g.
ma reponse:
g'(x)= -f(-x)f(x)+f'(x)f(-x) donc g'(x)=0
c) En deduire que la fonction g est constante et determiner sa valeur.
ma reponse:
comme on sait que g'(x)=0, g est donc constante; on peut déterminer la valeur de cette constante en déterminant la valeur prise par g en 0.
g(x)=g(0)= f(0)*f(0)=-4*-4=16
d) On considere l' equation differentielle (E) y'=1/16*y . Montrer que la fonction f est solution de cette equation et qu' elle verifie f(0)=-4.
y' = (1/16).y
Si f(x) vérifie cette équation, on a:
f '(x) = (1/16).f(x)
f(x) = K.e^(x/16) avec K une constante réelle.
f(0) = K.e^0*1/16 --> K = -4
--> f(x) = -4.e^(x/16)
Il faut donc vérifier que f(x) = -4.e^(x/16) vérifie bien les expression de l'exercice.
f(-x) = -4.e^(-x/16)
f '(x) = -(4/16).e^(x/16)
On a donc f(-x).f '(x) = (-4.e^(-x/16)).(-(4/16).e^(x/16))
f(-x).f '(x) = (-4.e^(-x/16+x/16)).-(1/4)
f(-x).f '(x) = e^(-x/16+x/16)
f(-x).f '(x) = e^0
f(-x).f '(x) = 1

et f(0) = -4.e^0 = -4

donc f(x) = -4.e^(x/16) vérifie bien les expressions f(-x).f '(x) = 1 et f(0) = -4.e^0 = -4.
2) Demontrer qu' il existe une unique solution de l' equation differentielle(E) prenant la valeur -4 en 0.
Par contre je n' arrive pas a repondre a cette question.

veuillez m' aider svp.
merci beaucoup

[Chimerade]

b)Calculer la fonction derivee de la fonction g.
ma reponse:
g'(x)= -f(-x)f(x)+f'(x)f(-x) donc g'(x)=0

C'est inexact ! Pour quoi "-f(-x)f(x)+f'(x)f(-x)" serait-il égal à zéro ? En fait ce n'est pas grave, puisque g '(x) n'est pas égal à "-f(-x)f(x)+f'(x)f(-x)" ! Le calcul correct est le suivant :
g(x)=f(-x)*f(x)
g'x)=-f '(-x)*f(x)+f(-x)*f '(x)
g'(x)=-f(-(-x))*f'((-x) + f(-x)*f '(x)
=-1+1=0 !

d) On considere l' equation differentielle (E) y'=1/16*y . Montrer que la fonction f est solution de cette equation et qu' elle verifie f(0)=-4.
y' = (1/16).y
Si f(x) vérifie cette équation, on a:
f '(x) = (1/16).f(x)
f(x) = K.e^(x/16) avec K une constante réelle.
f(0) = K.e^0*1/16 --> K = -4
--> f(x) = -4.e^(x/16)
Il faut donc vérifier que f(x) = -4.e^(x/16) vérifie bien les expression de l'exercice.
f(-x) = -4.e^(-x/16)
f '(x) = -(4/16).e^(x/16)
On a donc f(-x).f '(x) = (-4.e^(-x/16)).(-(4/16).e^(x/16))
f(-x).f '(x) = (-4.e^(-x/16+x/16)).-(1/4)
f(-x).f '(x) = e^(-x/16+x/16)
f(-x).f '(x) = e^0
f(-x).f '(x) = 1

Je n'ai pas vérifié tes calculs ! Mais il est clair que ce n'est pas la réponse attendue. On te demande simplement, pour l'instant de vérifier que f vérifie l'équation différentielle.
Or, dans la question précédente, on a prouvé que g(x)=16 pour tout x ! Et g(x)=f(x)*f(-x) ! Il en résulte simplement que f(-x)=16/f(x). Par conséquent, la condition f(-x)f'(x)=1 qu'est censée vérifier f se traduit par :
f '(x)=1/f(-x)=(1/16)*f(x)
En outre f(0)=-4 est une condition supposée vérifiée.
Point barre !

2) Demontrer qu' il existe une unique solution de l' equation differentielle(E) prenant la valeur -4 en 0.

C'est seulement ici que tu dois introduire l'exponentielle. Puisque f vérifie y'=16y, tu sais que toutes les solutions de cette équation sont du type
f(x) = K.e^(x/16) avec K une constante réelle.
et tu détermines l'unique valeur possible pour K.
f(0) = K.e^0*1/16 --> K = -4
--> f(x) = -4.e^(x/16)
A ce niveau, on a démontré que s'il existait une solution au problème alors cette solution est f(x)=-4.e^(x/16). C'est maintenant qu'il faut vérifier que cette unique solution possible est bien solution.
On a déjà vérifié que f(0)=-4. reste à vérifier que f(-x)f'(x)=1
C'est donc ici que tu sors ta démonstration :
f(-x).f '(x) = (-4.e^(-x/16)).(-(4/16).e^(x/16))
f(-x).f '(x) = (-4.e^(-x/16+x/16)).-(1/4)
f(-x).f '(x) = e^(-x/16+x/16)
f(-x).f '(x) = e^0
f(-x).f '(x) = 1
CQFD

[xavier005]

BOnjour,
comment sait-on que l'ensemble des solutions de cette équation sont l' ensemble des fonctions, definies sur R de la forme K*e^(x/16) car notre prof veut que l'on le demontre .
merci beaucoup

[Chimerade]

BOnjour,
comment sait-on que l'ensemble des solutions de cette équation sont l' ensemble des fonctions, definies sur R de la forme K*e^(x/16) car notre prof veut que l'on le demontre .
merci beaucoup

De y'=16y on tire :



Or est la dérivée de u(x)=Ln(y(x)).

Il en résulte que et donc que
d'où tu tires finalement

[nini 2546]

Bonjour

J ai un soucis avec la question 3 de cette exercice qq un peut me venir en aide ? Svp

Soit f et g fon tion [-2;7\2]
Par f(x)=(-x+3)(2x-5/2)+(-x+3)*
G(x)=1/2x*-1/2x-3

Question :

Montrer que pour tout réelx de [-2;7/2] g(x) = (x-3)(1/2x+1)

Calculer les antecedents de 0 par g

Attention ;) : Les * corresponde au carre car pas dispo sur mon tel