Comparaison moyennes arithmétique et géométrique

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Anonyme

Comparaison moyennes arithmétique et géométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:32

La moyenne arithmétique de n nombres positifs est toujours supérieure
à leur moyenne géométrique, c'est bien connu.

J'aimerais à ce sujet qu'un expert me dise si la démonstration
ci-dessous est correcte.

Preuve par récurrence sur n et par l'absurde :
La proposition p(n) : (x_1 + ... + x_n)/n >= (x_1 ... x_n)^(1/n)
est vraie à l'ordre 2 (cf. preuve élémentaire)
Supposons p(n) vraie.
p(n+1) s'écrit
(x_1 + ... + x_n + x_(n+1))/(n+1) >= (x_1 ... x_n x_(n+1))^(1/(n+1))
Montrons que la proposition contraire contredit p(n) :
(x_1 + ... + x_n + x_(n+1))/(n+1) < (x_1 ... x_n x_(n+1))^(1/(n+1))

Posons alors x_(n+1) = (x_1 ... x_n)^(1/n)

On obtient :
(x_1+...+x_n+(x_1...x_n)^(1/n))/(n+1) <
(x_1...x_n(x_1...x_n)^(1/n))^(1/(n+1))

x_1+...+x_n+(x_1...x_n)^(1/n) <
(n+1)(x_1...x_n(x_1...x_n)^(1/n))^(1/(n+1))

x_1+...+x_n<-(x_1 ... x_n)^(1/n)+(n+1)(x_1...x_n(x_1 ...
x_n)^(1/n))^(1/(n+1))

x_1+...+x_n<-(x_1...x_n)^(1/n)+(n+1)(x_1...x_n)^(1/(n+1)(x_1...x_n)^(1/(n(n+1))

soit :
x_1 + ... + x_n < - (x_1 ... x_n)^(1/n) + (n+1)(x_1 ... x_n)^(1/n)

car 1/(n+1) + 1/(n(n+1)) = 1/n
ce qui donne :
x_1 + ... + x_n < n (x_1 ... x_n)^(1/n)
qui contredirait p(n)
---
jcp



Anonyme

Re: Comparaison moyennes arithmétique etgéométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:32

Le 18 Sep 2003 09:31:36 -0700,
Jean-Claude Poujade grava à la saucisse et au marteau:

> Posons alors x_(n+1) = (x_1 ... x_n)^(1/n)


Non, tu n'as pas le droit de prendre un x_(n+1) particulier.

Mais tu peux dire que
G(x_1, ..., x_n) = exp(A(log(x_1), ..., log(x_n))
<= 1/n [somme(exp[ log(x_i) ] ) ) par convexité de
l'exponentielle.
Et hop, tu as ton résultat.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

Anonyme

Re: Comparaison moyennes arithmétique et géométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:32

"Jean-Claude Poujade" a écrit dans le message news:
e2e8961e.0309180831.2095100c@posting.google.com...
> La moyenne arithmétique de n nombres positifs est toujours supérieure
> à leur moyenne géométrique, c'est bien connu.
>
> J'aimerais à ce sujet qu'un expert me dise si la démonstration
> ci-dessous est correcte.
>
> Preuve par récurrence sur n et par l'absurde :
> La proposition p(n) : (x_1 + ... + x_n)/n >= (x_1 ... x_n)^(1/n)
> est vraie à l'ordre 2 (cf. preuve élémentaire)
> Supposons p(n) vraie.
> p(n+1) s'écrit
> (x_1 + ... + x_n + x_(n+1))/(n+1) >= (x_1 ... x_n x_(n+1))^(1/(n+1))
> Montrons que la proposition contraire contredit p(n) :
> (x_1 + ... + x_n + x_(n+1))/(n+1)
> Posons alors x_(n+1) = (x_1 ... x_n)^(1/n)
>

Ce point n'est pas correct. Si tu nies p(n+1), ça veut dire qu'_il existe_
x_1, ..., x_n et x_(n+1) tels que on ait la dernière inégalité que tu as
écrite et rien n'assure que x_1, ..., x_n et x_(n+1) vérifient le dernière
égalité que tu as écrite.

Si tu veux vraiment raisonner par récurrence, voici une façon de s'y prendre
:

On suppose l'inégalité vraie au rang n. En passant au log, on voit donc que
ln(x_1)+...+ln(x_n)<= n(ln(x_1+...+x_n) - nln(n).

Pour montrer que le rang (n+1) est vrai, il *suffit* donc de prouver que
n(ln(x_1+...+x_n) - nln(n)+ln(x_(n+1))-(n+1)(ln(x_1+...+x_n+x_(n+1)) +
(n+1)ln(n+1) est négatif.

Pour alléger, on pose x=x_1+...+x_n et b=x_(n+1).
On veut donc établir que
f(x)=nln(x)-nln(n)+ln(b)-(n+1)ln((x+b)+(n+1)ln(n+1)<=0.
Or, f '(x)=n/x-(n+1)/(x+b) qui est du signe de nb-x et par suite
f(x)<=f(nb)=0, cqfd.

Anonyme

Re: Comparaison moyennes arithmétique et géométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:32

Nicolas Le Roux wrote in message news:...
> Le 18 Sep 2003 09:31:36 -0700,
> Jean-Claude Poujade grava à la saucisse et au marteau:
>[color=green]
> > Posons alors x_(n+1) = (x_1 ... x_n)^(1/n)

>
> Non, tu n'as pas le droit de prendre un x_(n+1) particulier.
>
> Mais tu peux dire que
> G(x_1, ..., x_n) = exp(A(log(x_1), ..., log(x_n))
> l'exponentielle.
> Et hop, tu as ton résultat.[/color]

Merci pour cette preuve super-concise, mais ce que je cherche c'est
une démonstration purement algébrique, alors est-ce que la convexité
de l'exponentielle ne nécessite pas un calcul de dérivées?
Par ailleurs je ne réalise pas bien la faille de mon raisonnement : le
contraire de :
(quels que soient x_1, ..., x_n, x_(n+1) on a A G)
alors ce x_(n+1) particulier je prouve qu'il existe en l'exhibant
comme étant la moyenne géométrique des n premiers x_i
qui, eux, sont quelconques, etc.
J'aurai bien ainsi trouvé n nombres contredisant p(n).
Pourquoi n'ai-je pas le "droit" de procéder comme ça?...
---
jcp

Anonyme

Re: Comparaison moyennes arithmétique et géométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:33

Jean-Claude Poujade a écrit :

> [...] je ne réalise pas bien la faille de mon raisonnement : le
> contraire de :
> (quels que soient x_1, ..., x_n, x_(n+1) on a A c'est bien :
> (il existe x_1, ..., x_n, x_(n+1) tels que A > G)


Oui.

> alors ce x_(n+1) particulier je prouve qu'il existe en l'exhibant
> comme étant la moyenne géométrique des n premiers x_i


Ben non. On suppose qu'il existe un x_(n+1) qui va bien avec les x_1,
...., x_n, mais rien ne dit qu'il vaut la moyenne géométrique des n
premiers x_i.

> qui, eux, sont quelconques, etc.
> J'aurai bien ainsi trouvé n nombres contredisant p(n).
> Pourquoi n'ai-je pas le "droit" de procéder comme ça?...



Pour te prouver que ça ne marche pas, je vais « démontrer » un résultat
faux en utilisant ta méthode.

--- début de la fausse démonstration ---

La somme de n entiers pris parmi { -1, 0, 1 } est toujours inférieure ou
égale à 2 en valeur absolue (*).

Preuve par récurrence sur n et par l'absurde :
La proposition p(n) : |x_1 + ... + x_n| 2

Posons alors x_(n+1) = - signe(x_1 + ... + x_n)
(signe(x) vaut 1 si x>0, 0 si x=0 et -1 si x 2
donc |x_1 + ... + x_n| > 2
qui contredirait p(n)

--- fin de la fausse démonstration ---

(*) Je n'ai pas osé laisser « c'est bien connu » !

Anonyme

Re: Comparaison moyennes arithmétique et gé ométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:34

Je comprend maintenant, grâce à ce contre-exemple de
pseudo-récurrence, où était mon erreur de raisonnement.
Je ne dirai qu'un mot : merci!
---
jpc

ps : je reste à la recherche d'une démonstration purement algébrique
de A>=G

Anonyme

Re: Comparaison moyennes arithmétique et gé ométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:34

"Jean-Claude Poujade" a écrit dans le message news:
e2e8961e.0309220228.1e3844db@posting.google.com...
> Je comprend maintenant, grâce à ce contre-exemple de
> pseudo-récurrence, où était mon erreur de raisonnement.
> Je ne dirai qu'un mot : merci!
> ---
> jpc
>
> ps : je reste à la recherche d'une démonstration purement algébrique
> de A>=G


Voir
http://perso.wanadoo.fr/mathprepa/
Docs|Une sélection d'exercices du forum|
Troisième choix d'exercices| exercice 3

Anonyme

Re: Comparaison moyennes arithmétique et gé ométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:35

Pascal wrote:[color=green]
>>
>>ps : je reste à la recherche d'une démonstration purement algébrique
>>de A>=G

>
> Voir
> http://perso.wanadoo.fr/mathprepa/
> Docs|Une sélection d'exercices du forum|
> Troisième choix d'exercices| exercice 3[/color]

C'est-à-dire :
http://perso.wanadoo.fr/mathprepa/2001/exosforum3.pdf

Cela semble répondre à la question de Jean-Claude, en effet. Mais alors,
il y a presque une erreur toutes les trois lignes ! Je suis en train
d'essayer de suivre le raisonnement, mais il faut d'abord corriger les
erreurs, ce qui est fastidieux.

Anonyme

Re: Comparaison moyennes arithmétique et gé ométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:35

"Olivier Miakinen" a écrit dans le message
news: bkpeij$t9v$1@feed.teaser.net...
> Pascal wrote:[color=green][color=darkred]
> >>
> >>ps : je reste à la recherche d'une démonstration purement algébrique
> >>de A>=G

> >
> > Voir
> > http://perso.wanadoo.fr/mathprepa/
> > Docs|Une sélection d'exercices du forum|
> > Troisième choix d'exercices| exercice 3[/color]
>
> C'est-à-dire :
> http://perso.wanadoo.fr/mathprepa/2001/exosforum3.pdf
>[/color]

En effet, c'est beaucoup plus simple, mais mon navigateur (I.E.) ne me
donnait pas l'adresse et je ne vois comment la trouver en dehors d'ouvrir le
source html.


> Cela semble répondre à la question de Jean-Claude, en effet. Mais alors,
> il y a presque une erreur toutes les trois lignes ! Je suis en train
> d'essayer de suivre le raisonnement, mais il faut d'abord corriger les
> erreurs, ce qui est fastidieux.
>


C'est sans doute une solution qui avait donnée dans le forum mais non
revue/corrigée.
Mais ça marche, c'est une méthode que j'avais lue dans le bouquin d'exos de
Moisotte.

Anonyme

Re: Comparaison moyennes arithmétique et gé ométrique

par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:35

Pascal wrote:[color=green]
>>
>>C'est-à-dire :
>>http://perso.wanadoo.fr/mathprepa/2001/exosforum3.pdf

>
> En effet, c'est beaucoup plus simple, mais mon navigateur (I.E.) ne me
> donnait pas l'adresse[/color]

Ah oui, saloperies de frames !

> et je ne vois comment la trouver en dehors d'ouvrir le source html.


Avec Mozilla, j'utilise Ctrl+clic pour ouvrir un lien dans une nouvelle
fenêtre (Shift+clic avec IE : ).

Sur ce site, cela ne marche pas pour les pages HTML lorsque JavaScript
est activé (saloperie de JavaScript à la con sur des saloperies de
frames !) car ils rechargent alors la page d'accueil. Mais cela
fonctionne sur le dernier lien puisque, heureusement, les concepteurs
du site ne savent pas mettre de JavaScript sur un fichier PDF.
[color=green]
>>Cela semble répondre à la question de Jean-Claude, en effet. Mais alors,
>>il y a presque une erreur toutes les trois lignes ! Je suis en train
>>d'essayer de suivre le raisonnement, mais il faut d'abord corriger les
>>erreurs, ce qui est fastidieux.

>
> C'est sans doute une solution qui avait donnée dans le forum mais non
> revue/corrigée.
> Mais ça marche, c'est une méthode que j'avais lue dans le bouquin d'exos de
> Moisotte.[/color]

Oh, je suis bien persuadé que cela marche, oui. Il suffit de retrouver à
quels endroits on doit lire alpha_2 au lieu de a_2, mettre « n » à la
place de « n-1 » et réciproquement là où il faut, rétablir l'ordre des
opérations entre la division et l'élévation à la puissance... ;-)


Encore merci en tout cas pour le lien.
Olivier

 

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