La moyenne arithmétique de n nombres positifs est toujours supérieure
à leur moyenne géométrique, c'est bien connu.
J'aimerais à ce sujet qu'un expert me dise si la démonstration
ci-dessous est correcte.
Preuve par récurrence sur n et par l'absurde :
La proposition p(n) : (x_1 + ... + x_n)/n >= (x_1 ... x_n)^(1/n)
est vraie à l'ordre 2 (cf. preuve élémentaire)
Supposons p(n) vraie.
p(n+1) s'écrit
(x_1 + ... + x_n + x_(n+1))/(n+1) >= (x_1 ... x_n x_(n+1))^(1/(n+1))
Montrons que la proposition contraire contredit p(n) :
(x_1 + ... + x_n + x_(n+1))/(n+1) < (x_1 ... x_n x_(n+1))^(1/(n+1))
Posons alors x_(n+1) = (x_1 ... x_n)^(1/n)
On obtient :
(x_1+...+x_n+(x_1...x_n)^(1/n))/(n+1) <
(x_1...x_n(x_1...x_n)^(1/n))^(1/(n+1))
x_1+...+x_n+(x_1...x_n)^(1/n) <
(n+1)(x_1...x_n(x_1...x_n)^(1/n))^(1/(n+1))
x_1+...+x_n<-(x_1 ... x_n)^(1/n)+(n+1)(x_1...x_n(x_1 ...
x_n)^(1/n))^(1/(n+1))
x_1+...+x_n<-(x_1...x_n)^(1/n)+(n+1)(x_1...x_n)^(1/(n+1)(x_1...x_n)^(1/(n(n+1))
soit :
x_1 + ... + x_n < - (x_1 ... x_n)^(1/n) + (n+1)(x_1 ... x_n)^(1/n)
car 1/(n+1) + 1/(n(n+1)) = 1/n
ce qui donne :
x_1 + ... + x_n < n (x_1 ... x_n)^(1/n)
qui contredirait p(n)
---
jcp